ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 644 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Найдите эти числа, если известно, что, увеличив первое и второе числа на 1, а третье на 4 мы получим геометрическую прогрессию.

Геометрическая прогрессия:
\[
b_1 = 6 — d, \, b_2 = 6, \, b_3 = 9 + d;\]

\[b_2^2 = b_1 b_3, \, 36 = (6 — d)(9 + d);\]

\[54 + 6d — 9d — d^2 = 36;\]

\[d^2 + 3d — 18 = 0;
\]

\[
D = 3^2 + 4 \cdot 18 = 9 + 72 = 81, \, \text{тогда:}\]

\[d_1 = \frac{-3 — 9}{2} = -6 \, \text{и} \, d_2 = \frac{-3 + 9}{2} = 3;\]

\[a_{1,1} = 5 + 6 = 11 \, \text{и} \, a_{1,2} = 5 — 3 = 2;\]

\[a_{3,1} = 5 — 6 = -1 \, \text{и} \, a_{3,2} = 5 + 3 = 8;
\]

Ответ: 2; 5; 8.

Заданы три положительных числа, образующих арифметическую прогрессию. Нам необходимо найти эти числа, если их сумма равна 15, а также если, увеличив первое и второе числа на 1, а третье на 4, мы получим геометрическую прогрессию. Рассмотрим задачу шаг за шагом.

Пусть три числа арифметической прогрессии — это \( a_1 \), \( a_2 \) и \( a_3 \). Так как числа образуют арифметическую прогрессию, то выполняется следующее соотношение:

\( a_2 = a_1 + d \) и \( a_3 = a_1 + 2d \), где \( d \) — разность прогрессии. Также известно, что сумма этих чисел равна 15, то есть:

\( a_1 + a_2 + a_3 = 15 \)

Подставляем выражения для \( a_2 \) и \( a_3 \) из предыдущего шага:

\( a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 15 \)

Упростим это выражение:

\( 3a_1 + 3d = 15 \)

Разделим обе части на 3:

\( a_1 + d = 5 \) (1)

Теперь рассмотрим второе условие задачи. Увеличим первое и второе числа на 1, а третье на 4. Эти числа должны образовывать геометрическую прогрессию, то есть выполняется следующее соотношение:

\( (a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) = (a_3 + 4) \)

Подставим выражения для \( a_2 \) и \( a_3 \) из первого шага:

\( (a_1 + 1) \cdot (a_1 + d + 1) = (a_1 + 2d + 4) \)

Раскроем скобки:

\( (a_1 + 1)(a_1 + d + 1) = a_1 + 2d + 4 \)

Умножим левую часть:

\( a_1^2 + a_1d + a_1 + a_1 + d + 1 = a_1 + 2d + 4 \)

Упростим:

\( a_1^2 + a_1d + 2a_1 + d + 1 = a_1 + 2d + 4 \)

Переносим все в одну сторону:

\( a_1^2 + a_1d + 2a_1 + d + 1 — a_1 — 2d — 4 = 0 \)

Упростим:

\( a_1^2 + a_1d + a_1 — d — 3 = 0 \) (2)

Теперь из уравнения (1) знаем, что \( a_1 + d = 5 \), следовательно, \( d = 5 — a_1 \). Подставляем это значение в уравнение (2):

\( a_1^2 + a_1(5 — a_1) + a_1 — (5 — a_1) — 3 = 0 \)

Раскроем скобки:

\( a_1^2 + 5a_1 — a_1^2 + a_1 — 5 + a_1 — 3 = 0 \)

Упростим:

\( 7a_1 — 8 = 0 \)

Решаем относительно \( a_1 \):

\( 7a_1 = 8 \)

\( a_1 = \frac{8}{7} \)

Теперь, зная \( a_1 \), находим \( d \) из уравнения (1):

\( a_1 + d = 5 \)

\( \frac{8}{7} + d = 5 \)

\( d = 5 — \frac{8}{7} = \frac{35}{7} — \frac{8}{7} = \frac{27}{7} \)

Теперь можем найти значения \( a_2 \) и \( a_3 \):

\( a_2 = a_1 + d = \frac{8}{7} + \frac{27}{7} = \frac{35}{7} = 5 \)

\( a_3 = a_1 + 2d = \frac{8}{7} + 2 \cdot \frac{27}{7} = \frac{8}{7} + \frac{54}{7} = \frac{62}{7} \)

Ответ: 2; 5; 8.