Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 643 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Найдите эти числа, если известно, что, уменьшив второе из них на 1 и увеличив третье на 1, мы получим геометрическую прогрессию.
Арифметическая прогрессия:
\( a_1 = a — d, \, a_2 = a, \, a_3 = a + d; \)
\( a_1 + a_2 + a_3 = 21, \, 3a = 21, \, a = 7; \)
\( a_2 = 7, \, a_1 = 7 — d, \, a_3 = 7 + d; \)
Геометрическая прогрессия:
\( b_1 = 7 — d, \, b_2 = 6, \, b_3 = 8 + d; \)
\( b_2^2 = b_1 b_3, \, 36 = (7 — d)(8 + d); \)
\( 56 + 7d — 8d — d^2 = 36; \)
\( d^2 + d — 20 = 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81, \) тогда:
\( d_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5 \) и \( d_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4; \)
\( a_{1,1} = 7 + 5 = 12 \) и \( a_{1,2} = 7 — 4 = 3; \)
\( a_{3,1} = 7 — 5 = 2 \) и \( a_{3,2} = 7 + 4 = 11; \)
Ответ: 12; 7; 2 или 3; 7; 11.
Задача: Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Найдите эти числа, если известно, что, уменьшив второе из них на 1 и увеличив третье на 1, мы получим геометрическую прогрессию.
Решение:
Обозначим три числа арифметической прогрессии как \( a_1 \), \( a_2 \), \( a_3 \). Эти числа можно выразить через центральное число прогрессии \( a \) и разность прогрессии \( d \) следующим образом:
- \( a_1 = a — d \),
- \( a_2 = a \),
- \( a_3 = a + d \).
Из условия задачи известно, что сумма этих чисел равна 21:
\( a_1 + a_2 + a_3 = 21 \). Подставим выражения для \( a_1 \), \( a_2 \) и \( a_3 \):
\( (a — d) + a + (a + d) = 21. \)
Упростим уравнение:
\( 3a = 21, \quad a = 7. \)
Таким образом, центральное число прогрессии \( a = 7 \), и теперь можем выразить числа прогрессии:
- \( a_2 = 7 \),
- \( a_1 = 7 — d \),
- \( a_3 = 7 + d \).
Теперь переходим к условию, что при изменении второго числа (уменьшение на 1) и третьего числа (увеличение на 1) числа образуют геометрическую прогрессию. Получаем новые числа: \( b_1 = 7 — d \), \( b_2 = 6 \), \( b_3 = 8 + d \). Эти числа должны удовлетворять условию геометрической прогрессии, то есть:
\( b_2^2 = b_1 \cdot b_3. \)
Подставим значения для \( b_1 \), \( b_2 \) и \( b_3 \):
\( 6^2 = (7 — d)(8 + d). \)
Решим уравнение:
\( 36 = (7 — d)(8 + d). \)
Раскроем скобки:
\( 36 = 56 + 7d — 8d — d^2. \)
Упростим уравнение:
\( 36 = 56 — d — d^2. \)
Переносим все в одну сторону:
\( d^2 + d — 20 = 0. \)
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81. \)
Теперь находим корни уравнения:
\( d_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5, \quad d_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4. \)
Подставляем значения \( d_1 \) и \( d_2 \) в выражения для \( a_1 \), \( a_2 \), \( a_3 \):
- При \( d = -5 \): \( a_1 = 7 + 5 = 12 \), \( a_2 = 7 \), \( a_3 = 7 — 5 = 2 \);
- При \( d = 4 \): \( a_1 = 7 — 4 = 3 \), \( a_2 = 7 \), \( a_3 = 7 + 4 = 11 \);
Ответ: \( (12, 7, 2) \) или \( (3, 7, 11) \).
Задачи повышенные трудности
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.