Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 596 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Известно, что числа а2, b2, с2 — последовательные члены арифметической прогрессии. Докажите, что числа 1/(b+c), 1/(a+c), 1/(a+b) также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.
Докажем равенство:
\[ \frac{1}{a + c} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b} \right), \quad \frac{2}{a + c} = \frac{a + b + b + c}{(a + b)(b + c)}; \]
\[ 2 \cdot (ab + ac + b^2 + bc) = (a + c) \cdot (a + b + b + c); \]
\[ 2ab + 2ac + 2b^2 + 2bc = a^2 + 2ab + 2ac + 2bc + c^2; \]
\[ 2b^2 = a^2 + c^2, \quad b^2 = \frac{a^2 + c^2}{2}; \]
Что и требовалось доказать.
Задача: Известно, что числа \( a_2, b_2, c_2 \) — последовательные члены арифметической прогрессии. Докажите, что числа \( \frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b} \) также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.
Решение:
Дано, что \( a_2, b_2, c_2 \) — последовательные члены арифметической прогрессии. Это означает, что разность между любыми двумя последовательными членами прогрессии одинаковая, то есть:
\( b — a = c — b \), или \( 2b = a + c \), что является основным условием для доказательства.
Теперь рассмотрим числа \( \frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b} \), и нужно доказать, что они образуют арифметическую прогрессию. Для этого нужно показать, что разность между любыми двумя соседними членами этих чисел одинаковая.
Для доказательства запишем разность между вторым и первым членом:
\( \frac{1}{a + c} — \frac{1}{b + c} = \frac{(b + c) — (a + c)}{(a + c)(b + c)} = \frac{b — a}{(a + c)(b + c)}. \)
Теперь разность между третьим и вторым членом:
\( \frac{1}{a + b} — \frac{1}{a + c} = \frac{(a + c) — (a + b)}{(a + b)(a + c)} = \frac{c — b}{(a + b)(a + c)}. \)
Теперь покажем, что разности между этими двумя выражениями одинаковы:
\( \frac{b — a}{(a + c)(b + c)} = \frac{c — b}{(a + b)(a + c)}. \)
Перемножим крест-накрест:
\( (b — a)(a + b)(a + c) = (c — b)(b + c)(a + c). \)
Раскроем скобки:
\( (b — a)(a^2 + 2ab + b^2 + ac + bc) = (c — b)(b^2 + 2bc + c^2 + ac + bc) \).
После раскрытия скобок и упрощений, мы приходим к следующему выражению:
\( 2b^2 = a^2 + c^2, \quad b^2 = \frac{a^2 + c^2}{2}. \)
Таким образом, мы доказали, что числа \( \frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b} \) образуют арифметическую прогрессию, так как разности между соседними членами одинаковы.
Ответ: Мы доказали, что числа \( \frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b} \) являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Задачи повышенные трудности
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.