ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 549 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Двое туристов идут навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый вышел из А на 6 ч позже, чем второй из В, и при встрече оказалось, что он прошёл на 12 км меньше второго. Продолжая движение с той же скоростью, первый пришёл в В через 8 ч, а второй — в А через 9 ч после встречи. Найдите скорость каждого туриста.

Зададим переменные:

\( x \) км/ч — скорость первого;

\( y \) км/ч — скорость второго;

\( t \) ч — время встречи;

1) Второе уравнение:

\( 8x = ty, \, 9y = (t — 6)x; \)

\( t = \frac{8x}{y}, \, t — 6 = \frac{9y}{x}; \)

\( \frac{8x}{y} — 6 = \frac{9y}{x}, \, 8x^2 — 6xy — 9y^2 = 0; \)

\( D = (6)^2 + 4 \cdot 8 \cdot 9y^2 = 36y^2 + 288y^2 = 324y^2, \text{ тогда:} \)

\( x_1 = \frac{6y — 18y}{2 \cdot 8} = \frac{-3y}{4} \) и \( x_2 = \frac{6y + 18y}{2 \cdot 8} = \frac{24y}{16} = \frac{3y}{2}; \)

\( \frac{x_1}{y} = -\frac{3}{4}\)

2) Первое уравнение:

\( ty — (t — 6)x = 12; \)

\( 12y — 6 \cdot \frac{3y}{2} = 12, \, 3y = 12; \)

\( y = \frac{12}{3} = 4, \, x = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6; \)

Ответ: 6 и 4 км/ч.

Задача: Двое туристов идут навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый вышел из А на 6 ч позже, чем второй из В, и при встрече оказалось, что он прошёл на 12 км меньше второго. Продолжая движение с той же скоростью, первый пришёл в В через 8 ч, а второй — в А через 9 ч после встречи. Найдите скорость каждого туриста.

Решение:

Зададим переменные:

• \( x \) км/ч — скорость первого туриста;
• \( y \) км/ч — скорость второго туриста;
• \( t \) ч — время встречи.

1) Первое уравнение для времени:

Так как первый турист вышел на 6 часов позже второго, то при встрече первый прошёл на 12 км меньше второго. Рассмотрим уравнение для расстояний, пройденных туристами до встречи:

\( 8x = t \cdot y, \) где \( t \cdot y \) — расстояние, которое прошёл второй турист до встречи, а \( 8x \) — расстояние, которое прошёл первый турист до встречи. Это уравнение описывает равенство пройденных расстояний с учётом разницы во времени выхода туристов.

Теперь используем уравнение, исходя из того, что второй турист прошёл на 12 км больше первого туриста:

\( 9y = (t — 6) \cdot x, \) где \( 9y \) — расстояние, которое второй турист прошёл после встречи, и \( (t — 6) \cdot x \) — расстояние, которое прошёл первый турист за время, прошедшее с их встречи до момента, когда они оба приходят в противоположные пункты.

Теперь выразим \( t \) из первого уравнения:

\( t = \frac{8x}{y}. \)

Подставим это значение \( t \) во второе уравнение:

\( \frac{8x}{y} — 6 = \frac{9y}{x}, \)

Умножим обе части на \( x \) и \( y \) для устранения дробей:

\( 8x^2 — 6xy = 9y^2, \)

или

\( 8x^2 — 6xy — 9y^2 = 0. \)

2) Решим это квадратное уравнение относительно \( x \) и \( y \). Для этого воспользуемся дискриминантом:

\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-9y^2) = 36y^2 + 288y^2 = 324y^2. \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{6y — 18y}{2 \cdot 8} = \frac{-3y}{4}, \quad x_2 = \frac{6y + 18y}{2 \cdot 8} = \frac{24y}{16} = \frac{3y}{2}. \)

Значение \( x_1 \) не имеет смысла, так как оно отрицательное, поэтому принимаем \( x_2 = \frac{3y}{2}. \)

3) Теперь подставим \( x = \frac{3y}{2} \) в одно из уравнений для вычисления \( y \). Используем следующее уравнение:

\( t \cdot y — (t — 6) \cdot x = 12. \)

Подставим \( x = \frac{3y}{2} \):

\( 12y — 6 \cdot \frac{3y}{2} = 12, \)

упрощаем выражение:

\( 12y — 9y = 12, \)

\( 3y = 12, \)

\( y = \frac{12}{3} = 4. \)

Теперь подставим \( y = 4 \) в \( x = \frac{3y}{2} \):

\( x = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6. \)

Ответ: Скорости туристов: \( 6 \) км/ч и \( 4 \) км/ч.