Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 536 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Решить систему уравнений:
а) \(\begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18 \\ x^2 — y^2 + x — y = 6 \end{cases}\);
Сумма уравнений:
\( 2x^2 + 2x = 24, \, x^2 + x — 12 = 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \text{ тогда:} \)
\( x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \) и \( x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3; \)
Разность уравнений:
\( 2y^2 + 2y = 12, \, y^2 + y — 6 = 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:} \)
\( y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \) и \( y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2; \)
Ответ: \((-4; -3)\); \((-4; 2)\); \((3; -3)\); \((3; 2)\).
б) \(\begin{cases} x^2y^2 + xy = 72 \\ x + y = 6 \end{cases}\);
Пусть \( z = xy \), тогда:
\( z^2 + z = 72, \, z^2 + z — 72 = 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 72 = 1 + 288 = 289, \text{ тогда:} \)
\( z_1 = \frac{-1 — 17}{2} = -9 \) и \( z_2 = \frac{-1 + 17}{2} = 8; \)
Первое значение:
\( xy = -9, \, y = -\frac{9}{x}; \)
\( x — \frac{9}{x} = 6, \, x^2 — 6x — 9 = 0; \)
\( D = 6^2 + 4 \cdot 9 = 36 + 36 = 72, \text{ тогда:} \)
\( x = \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3\sqrt{2}; \)
\( y = 6 — x = 6 — (3 \pm 3\sqrt{2}) = 3 \mp 3\sqrt{2}; \)
Второе значение:
\( xy = 8, \, y = \frac{8}{x}; \)
\( x + \frac{8}{x} = 6, \, x^2 — 6x + 8 = 0; \)
\( D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4, \text{ тогда:} \)
\( x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4; \)
\( y_1 = \frac{8}{2} = 4 \) и \( y_2 = \frac{8}{4} = 2; \)
Ответ: \((2; 4)\); \((3 — 3\sqrt{2}; 3 + 3\sqrt{2})\); \((4; 2)\); \((3 + 3\sqrt{2}; 3 — 3\sqrt{2})\)
в) \(\begin{cases} (x + y)^2 — 2(x + y) = 15 \\ x + x + y + 11 \end{cases}\);
Пусть \( z = x + y \), тогда:
\( z^2 — 2z — 15 = 0; \)
\( D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64, \text{ тогда:} \)
\( z_1 = \frac{2 — 8}{2} = -3 \) и \( z_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5; \)
Первое значение:
\( x + y = -3, \, y = -x — 3; \)
\( x — x(x + 3) — (x + 3) = 11; \)
\( x — x^2 — 3x — x — 3 = 11; \)
\( x^2 + 3x + 14 = 0; \)
\( D = 3^2 — 4 \cdot 14 = 9 — 56 = -47; \)
Второе значение:
\( x + y = 5, \, y = 5 — x; \)
\( x + x(5 — x) + (5 — x) = 11; \)
\( x + 5x — x^2 + 5 — x = 11; \)
\( x^2 — 5x + 6 = 0; \)
\( D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда:} \)
\( x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3; \)
\( y_1 = 5 — 2 = 3 \) и \( y_2 = 5 — 3 = 2; \)
Ответ: \((2; 3)\); \((3; 2)\).
г) \(\begin{cases} (x + y)^2 — 2(x + y) = 45 \\ (x — y)^2 — 2(x — y) = 3 \end{cases}\);
Пусть \( z = x + y \), тогда:
\( z^2 — 2z — 45 = 0; \)
\( D = 2^2 + 4 \cdot 45 = 16 + 180 = 196, \text{ тогда:} \)
\( z_1 = \frac{4 — 14}{2} = -5 \) и \( z_2 = \frac{4 + 14}{2} = 9; \)
Первое значение:
\( x + y = -5, \, y = -x — 5; \)
\( (2x + 5)^2 — 2(2x + 5) = 3; \)
\( 4x^2 + 20x + 25 — 4x — 10 = 3; \)
\( 4x^2 + 16x + 12 = 0; \)
\( x^2 + 4x + 3 = 0; \)
\( D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда:} \)
\( x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1; \)
\( y_1 = 3 — 5 = -2 \) и \( y_2 = 1 — 5 = -4; \)
Второе значение:
\( x + y = 9, \, y = 9 — x; \)
\( (2x — 9)^2 — 2(2x — 9) = 3; \)
\( 4x^2 — 36x + 81 — 4x + 18 = 3; \)
\( 4x^2 — 40x + 96 = 0; \)
\( x^2 — 10x + 24 = 0; \)
\( D = 10^2 — 4 \cdot 24 = 100 — 96 = 4, \text{ тогда:} \)
\( x_1 = \frac{10 — 2}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{10 + 2}{2} = 6; \)
\( y_1 = 9 — 4 = 5 \) и \( y_2 = 9 — 6 = 3; \)
Ответ: \((-3; -2)\); \((-1; -4)\); \((4; 5)\); \((6; 3)\).
a)
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 + x + y = 18, \\
x^2 — y^2 + x — y = 6.
\end{cases}
\]
Решение:
1. Суммируем оба уравнения:
\[
(x^2 + y^2 + x + y) + (x^2 — y^2 + x — y) = 18 + 6,
\]
что дает:
\[
2x^2 + 2x = 24 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x — 12 = 0.
\]
2. Решаем квадратное уравнение для \(x\):
\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49, \quad x_1 =\]
\[\frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3.
\]
3. Подставляем найденные значения \(x\) в разность уравнений:
\[
2y^2 + 2y = 12 \quad \Rightarrow \quad y^2 + y — 6 = 0.
\]
4. Решаем квадратное уравнение для \(y\):
\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25, \quad y_1 =\]
\[\frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2.
\]
5. Проверяем возможные комбинации \(x\) и \(y\):
— Для \(x_1 = -4\) и \(y_1 = -3\), получаем \((-4; -3)\);
— Для \(x_1 = -4\) и \(y_2 = 2\), получаем \((-4; 2)\);
— Для \(x_2 = 3\) и \(y_1 = -3\), получаем \((3; -3)\);
— Для \(x_2 = 3\) и \(y_2 = 2\), получаем \((3; 2)\).
Ответ: \((-4; -3)\); \((-4; 2)\); \((3; -3)\); \((3; 2)\).
b)
\[
\begin{cases}
x^2 y^2 + xy = 72, \\
x + y = 6.
\end{cases}
\]
Решение:
1. Пусть \(z = xy\). Подставляем в первое уравнение:
\[
z^2 + z — 72 = 0.
\]
2. Решаем квадратное уравнение для \(z\):
\[
D = 1^2 + 4 \cdot 72 = 1 + 288 = 289, \quad z_1 =\]
\[ \frac{-1 — 17}{2} = -9, \quad z_2 = \frac{-1 + 17}{2} = 8.
\]
3. Рассматриваем два случая для \(xy = z\):
Первое значение: \(xy = -9\), \(y = \frac{-9}{x}\):
\[
x — \frac{9}{x} = 6 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 6x — 9 = 0.
\]
4. Решаем квадратное уравнение для \(x\):
\[
D = 6^2 + 4 \cdot 9 = 36 + 36 = 72, \quad x = \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2} =\]
\[\frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3\sqrt{2}.
\]
5. Подставляем \(x = 3 \pm 3\sqrt{2}\) в \(y = \frac{-9}{x}\) и получаем два решения для \(y\).
Второе значение: \(xy = 8\), \(y = \frac{8}{x}\):
\[
x + \frac{8}{x} = 6 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 6x + 8 = 0.
\]
6. Решаем квадратное уравнение для \(x\):
\[
D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4, \quad x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4.
\]
7. Подставляем \(x = 2\) и \(x = 4\) в \(y = \frac{8}{x}\), получаем:
— Для \(x_1 = 2\), \(y_1 = 4\);
— Для \(x_2 = 4\), \(y_2 = 2\).
Ответ: \((2; 4)\); \((3 — 3\sqrt{2}; 3 + 3\sqrt{2})\); \((4; 2)\); \((3 + 3\sqrt{2}; 3 — 3\sqrt{2})\).
в)
\[
\begin{cases}
(x + y)^2 — 2(x + y) = 15, \\
x + xy + y = 11.
\end{cases}
\]
Решение:
1. Пусть \(z = x + y\), подставляем в первое уравнение:
\[
z^2 — 2z = 15 \quad \Rightarrow \quad z^2 — 2z — 15 = 0.
\]
2. Решаем квадратное уравнение для \(z\):
\[
D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64, \quad z_1 = \frac{-2 — 8}{2} =\]
\[ -5, \quad z_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3.
\]
3. Рассматриваем два случая для \(z\):
Первое значение: \(x + y = -5\), \(y = -x — 5\):
\[
x — x(x + 3) — (x + 3) = 11.
\]
4. Это уравнение не имеет решений, так как дискриминант \(D < 0\).
Второе значение: \(x + y = 5\), \(y = 5 — x\):
\[
x + x(5 — x) + (5 — x) = 11 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 5x + 6 = 0.
\]
5. Решаем квадратное уравнение для \(x\):
\[
D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \quad x_1 = \frac{5 — 1}{2} =\]
\[2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3.
\]
6. Подставляем найденные значения \(x = 2\) и \(x = 3\) в \(y = 5 — x\):
— Для \(x_1 = 2\), \(y_1 = 3\);
— Для \(x_2 = 3\), \(y_2 = 2\).
Ответ: \((2; 3)\); \((3; 2)\).
г)
\[
\begin{cases}
(x + y)^2 — 4(x + y) = 45, \\
(x — y)^2 — 2(x — y) = 3.
\end{cases}
\]
Решение:
1. Пусть \(z = x + y\), подставляем в первое уравнение:
\[
z^2 — 4z = 45 \quad \Rightarrow \quad z^2 — 4z — 45 = 0.
\]
2. Решаем квадратное уравнение для \(z\):
\[
D = 4^2 + 4 \cdot 45 = 16 + 180 = 196, \quad z_1 = \frac{-4 — 14}{2} =\]
\[-9, \quad z_2 = \frac{-4 + 14}{2} = 5.
\]
3. Рассматриваем два случая для \(z\):
Первое значение: \(x + y = -5\), \(y = -x — 5\):
\[
(2x + 5)^2 — 2(2x + 5) = 3.
\]
4. Упрощаем уравнение и решаем для \(x\), получаем:
\[
x_1 = -3, \quad x_2 = -1.
\]
Второе значение: \(x + y = 9\), \(y = 9 — x\):
\[
(2x — 9)^2 — 2(2x — 9) = 3.
\]
5. Упрощаем уравнение и решаем для \(x\), получаем:
\[
x_1 = 4, \quad x_2 = 6.
\]
Ответ: \((-3; -2)\); \((-1; -4)\); \((4; 5)\); \((6; 3)\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.