1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Учебник 📕 Макарычев, Миндюк — Все Части
Алгебра
9 класс учебник Макарычев
9 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.
Год
2019-2024.
Описание

Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.

Основные характеристики:

  • Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
  • Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.

Заключение:

Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 536 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача
Решите систему уравнений:
а) система
x2+y2+x+y=18,
x2-y2+x-y=6;
б) система
x2y2+xy=72,
x+y=6;
в) система
(x+y)2-2(x+y)=15,
x+xy+y=11;
г) система
(x+y)2-4(x+y)=45,
(x-y)2-2(x-y)=3.
Краткий ответ:

Решить систему уравнений:

а) \(\begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18 \\ x^2 — y^2 + x — y = 6 \end{cases}\);

Сумма уравнений:

\( 2x^2 + 2x = 24, \, x^2 + x — 12 = 0; \)

\( D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \text{ тогда:} \)

\( x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \) и \( x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3; \)

Разность уравнений:

\( 2y^2 + 2y = 12, \, y^2 + y — 6 = 0; \)

\( D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:} \)

\( y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \) и \( y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2; \)

Ответ: \((-4; -3)\); \((-4; 2)\); \((3; -3)\); \((3; 2)\).

б) \(\begin{cases} x^2y^2 + xy = 72 \\ x + y = 6 \end{cases}\);

Пусть \( z = xy \), тогда:

\( z^2 + z = 72, \, z^2 + z — 72 = 0; \)

\( D = 1^2 + 4 \cdot 72 = 1 + 288 = 289, \text{ тогда:} \)

\( z_1 = \frac{-1 — 17}{2} = -9 \) и \( z_2 = \frac{-1 + 17}{2} = 8; \)

Первое значение:

\( xy = -9, \, y = -\frac{9}{x}; \)

\( x — \frac{9}{x} = 6, \, x^2 — 6x — 9 = 0; \)

\( D = 6^2 + 4 \cdot 9 = 36 + 36 = 72, \text{ тогда:} \)

\( x = \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3\sqrt{2}; \)

\( y = 6 — x = 6 — (3 \pm 3\sqrt{2}) = 3 \mp 3\sqrt{2}; \)

Второе значение:

\( xy = 8, \, y = \frac{8}{x}; \)

\( x + \frac{8}{x} = 6, \, x^2 — 6x + 8 = 0; \)

\( D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4, \text{ тогда:} \)

\( x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4; \)

\( y_1 = \frac{8}{2} = 4 \) и \( y_2 = \frac{8}{4} = 2; \)

Ответ: \((2; 4)\); \((3 — 3\sqrt{2}; 3 + 3\sqrt{2})\); \((4; 2)\); \((3 + 3\sqrt{2}; 3 — 3\sqrt{2})\)

в) \(\begin{cases} (x + y)^2 — 2(x + y) = 15 \\ x + x + y + 11 \end{cases}\);

Пусть \( z = x + y \), тогда:

\( z^2 — 2z — 15 = 0; \)

\( D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64, \text{ тогда:} \)

\( z_1 = \frac{2 — 8}{2} = -3 \) и \( z_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5; \)

Первое значение:

\( x + y = -3, \, y = -x — 3; \)

\( x — x(x + 3) — (x + 3) = 11; \)

\( x — x^2 — 3x — x — 3 = 11; \)

\( x^2 + 3x + 14 = 0; \)

\( D = 3^2 — 4 \cdot 14 = 9 — 56 = -47; \)

Второе значение:

\( x + y = 5, \, y = 5 — x; \)

\( x + x(5 — x) + (5 — x) = 11; \)

\( x + 5x — x^2 + 5 — x = 11; \)

\( x^2 — 5x + 6 = 0; \)

\( D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда:} \)

\( x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3; \)

\( y_1 = 5 — 2 = 3 \) и \( y_2 = 5 — 3 = 2; \)

Ответ: \((2; 3)\); \((3; 2)\).

г) \(\begin{cases} (x + y)^2 — 2(x + y) = 45 \\ (x — y)^2 — 2(x — y) = 3 \end{cases}\);

Пусть \( z = x + y \), тогда:

\( z^2 — 2z — 45 = 0; \)

\( D = 2^2 + 4 \cdot 45 = 16 + 180 = 196, \text{ тогда:} \)

\( z_1 = \frac{4 — 14}{2} = -5 \) и \( z_2 = \frac{4 + 14}{2} = 9; \)

Первое значение:

\( x + y = -5, \, y = -x — 5; \)

\( (2x + 5)^2 — 2(2x + 5) = 3; \)

\( 4x^2 + 20x + 25 — 4x — 10 = 3; \)

\( 4x^2 + 16x + 12 = 0; \)

\( x^2 + 4x + 3 = 0; \)

\( D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда:} \)

\( x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1; \)

\( y_1 = 3 — 5 = -2 \) и \( y_2 = 1 — 5 = -4; \)

Второе значение:

\( x + y = 9, \, y = 9 — x; \)

\( (2x — 9)^2 — 2(2x — 9) = 3; \)

\( 4x^2 — 36x + 81 — 4x + 18 = 3; \)

\( 4x^2 — 40x + 96 = 0; \)

\( x^2 — 10x + 24 = 0; \)

\( D = 10^2 — 4 \cdot 24 = 100 — 96 = 4, \text{ тогда:} \)

\( x_1 = \frac{10 — 2}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{10 + 2}{2} = 6; \)

\( y_1 = 9 — 4 = 5 \) и \( y_2 = 9 — 6 = 3; \)

Ответ: \((-3; -2)\); \((-1; -4)\); \((4; 5)\); \((6; 3)\).

Подробный ответ:

a)

\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 + x + y = 18, \\
x^2 — y^2 + x — y = 6.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Суммируем оба уравнения:

\[
(x^2 + y^2 + x + y) + (x^2 — y^2 + x — y) = 18 + 6,
\]

что дает:

\[
2x^2 + 2x = 24 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x — 12 = 0.
\]

2. Решаем квадратное уравнение для \(x\):

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49, \quad x_1 =\]

\[\frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3.
\]

3. Подставляем найденные значения \(x\) в разность уравнений:

\[
2y^2 + 2y = 12 \quad \Rightarrow \quad y^2 + y — 6 = 0.
\]

4. Решаем квадратное уравнение для \(y\):

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25, \quad y_1 =\]

\[\frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2.
\]

5. Проверяем возможные комбинации \(x\) и \(y\):

— Для \(x_1 = -4\) и \(y_1 = -3\), получаем \((-4; -3)\);

— Для \(x_1 = -4\) и \(y_2 = 2\), получаем \((-4; 2)\);

— Для \(x_2 = 3\) и \(y_1 = -3\), получаем \((3; -3)\);

— Для \(x_2 = 3\) и \(y_2 = 2\), получаем \((3; 2)\).

Ответ: \((-4; -3)\); \((-4; 2)\); \((3; -3)\); \((3; 2)\).

b)

\[
\begin{cases}
x^2 y^2 + xy = 72, \\
x + y = 6.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Пусть \(z = xy\). Подставляем в первое уравнение:

\[
z^2 + z — 72 = 0.
\]

2. Решаем квадратное уравнение для \(z\):

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 72 = 1 + 288 = 289, \quad z_1 =\]

\[ \frac{-1 — 17}{2} = -9, \quad z_2 = \frac{-1 + 17}{2} = 8.
\]

3. Рассматриваем два случая для \(xy = z\):

Первое значение: \(xy = -9\), \(y = \frac{-9}{x}\):

\[
x — \frac{9}{x} = 6 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 6x — 9 = 0.
\]

4. Решаем квадратное уравнение для \(x\):

\[
D = 6^2 + 4 \cdot 9 = 36 + 36 = 72, \quad x = \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2} =\]

\[\frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3\sqrt{2}.
\]

5. Подставляем \(x = 3 \pm 3\sqrt{2}\) в \(y = \frac{-9}{x}\) и получаем два решения для \(y\).

Второе значение: \(xy = 8\), \(y = \frac{8}{x}\):

\[
x + \frac{8}{x} = 6 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 6x + 8 = 0.
\]

6. Решаем квадратное уравнение для \(x\):

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4, \quad x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4.
\]

7. Подставляем \(x = 2\) и \(x = 4\) в \(y = \frac{8}{x}\), получаем:

— Для \(x_1 = 2\), \(y_1 = 4\);

— Для \(x_2 = 4\), \(y_2 = 2\).

Ответ: \((2; 4)\); \((3 — 3\sqrt{2}; 3 + 3\sqrt{2})\); \((4; 2)\); \((3 + 3\sqrt{2}; 3 — 3\sqrt{2})\).

в)

\[
\begin{cases}
(x + y)^2 — 2(x + y) = 15, \\
x + xy + y = 11.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Пусть \(z = x + y\), подставляем в первое уравнение:

\[
z^2 — 2z = 15 \quad \Rightarrow \quad z^2 — 2z — 15 = 0.
\]

2. Решаем квадратное уравнение для \(z\):

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64, \quad z_1 = \frac{-2 — 8}{2} =\]

\[ -5, \quad z_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3.
\]

3. Рассматриваем два случая для \(z\):

Первое значение: \(x + y = -5\), \(y = -x — 5\):

\[
x — x(x + 3) — (x + 3) = 11.
\]

4. Это уравнение не имеет решений, так как дискриминант \(D < 0\).

Второе значение: \(x + y = 5\), \(y = 5 — x\):

\[
x + x(5 — x) + (5 — x) = 11 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 5x + 6 = 0.
\]

5. Решаем квадратное уравнение для \(x\):

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \quad x_1 = \frac{5 — 1}{2} =\]

\[2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3.
\]

6. Подставляем найденные значения \(x = 2\) и \(x = 3\) в \(y = 5 — x\):

— Для \(x_1 = 2\), \(y_1 = 3\);

— Для \(x_2 = 3\), \(y_2 = 2\).

Ответ: \((2; 3)\); \((3; 2)\).

г)

\[
\begin{cases}
(x + y)^2 — 4(x + y) = 45, \\
(x — y)^2 — 2(x — y) = 3.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Пусть \(z = x + y\), подставляем в первое уравнение:

\[
z^2 — 4z = 45 \quad \Rightarrow \quad z^2 — 4z — 45 = 0.
\]

2. Решаем квадратное уравнение для \(z\):

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 45 = 16 + 180 = 196, \quad z_1 = \frac{-4 — 14}{2} =\]

\[-9, \quad z_2 = \frac{-4 + 14}{2} = 5.
\]

3. Рассматриваем два случая для \(z\):

Первое значение: \(x + y = -5\), \(y = -x — 5\):

\[
(2x + 5)^2 — 2(2x + 5) = 3.
\]

4. Упрощаем уравнение и решаем для \(x\), получаем:

\[
x_1 = -3, \quad x_2 = -1.
\]

Второе значение: \(x + y = 9\), \(y = 9 — x\):

\[
(2x — 9)^2 — 2(2x — 9) = 3.
\]

5. Упрощаем уравнение и решаем для \(x\), получаем:

\[
x_1 = 4, \quad x_2 = 6.
\]

Ответ: \((-3; -2)\); \((-1; -4)\); \((4; 5)\); \((6; 3)\).



Общая оценка
3.8 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы
Как выбрать ГДЗ по математике

Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.