Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 533 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Решить систему уравнений:
а) \(\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ 2x — y = 5 \end{cases}\);
Второе уравнение:
\( y = 2x — 5; \)
Первое уравнение:
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{2x — 5} = \frac{1}{6}; \)
\( 6(2x — 5) + 6x = x(2x — 5); \)
\( 12x — 30 + 6x = 2x^2 — 5x; \)
\( 2x^2 — 23x + 30 = 0; \)
\( D = 23^2 — 4 \cdot 2 \cdot 30 = 529 — 240 = 289, \text{ тогда:} \)
\( x_1 = \frac{23 — 17}{2 \cdot 2} = 1.5 \) и \( x_2 = \frac{23 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{40}{4} = 10; \)
\( y_1 = 3 — 5 = -2 \) и \( y_2 = 20 — 5 = 15; \)
Ответ: \((1.5; -2)\); \((10; 15)\).
б) \(\begin{cases} \frac{1}{x} — \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \\ x + 2y = 14 \end{cases}\);
Второе уравнение:
\( x = 14 — 2y; \)
Первое уравнение:
\( \frac{1}{14 — 2y} — \frac{1}{y} = \frac{1}{20}; \)
\( 20y — 20(14 — 2y) = y(14 — 2y); \)
\( 20y — 280 + 40y = 14y — 2y^2; \)
\( 2y^2 + 46y — 280 = 0; \)
\( y^2 + 23y — 140 = 0; \)
\( D = 23^2 + 4 \cdot 140 = 529 + 560 = 1089, \text{ тогда:} \)
\( y_1 = \frac{-23 — 33}{2} = -28 \) и \( y_2 = \frac{-23 + 33}{2} = 5; \)
\( x_1 = 14 + 56 = 70 \) и \( x_2 = 14 — 10 = 4; \)
Ответ: \((70; -28)\); \((4; 5)\).
в) \(\begin{cases} x + y = 14 \\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{12} \end{cases}\);
Первое уравнение:
\( y = 14 — x; \)
Второе уравнение:
\( \frac{x}{14 — x} + \frac{14 — x}{x} = \frac{25}{12}; \)
\( 12x^2 + 12(14 — x)^2 = 25x \cdot (14 — x); \)
\( 12x^2 + 2352 — 336x + 12x^2 = 350x — 25x^2; \)
\( 49x^2 — 686x + 2352 = 0; \)
\( x^2 — 14x + 48 = 0; \)
\( D = 14^2 — 4 \cdot 48 = 196 — 192 = 4, \text{ тогда:} \)
\( x_1 = \frac{14 — 2}{2} = 6 \) и \( x_2 = \frac{14 + 2}{2} = \frac{16}{2} = 8; \)
\( y_1 = 14 — 6 = 8 \) и \( y_2 = 14 — 8 = 6; \)
Ответ: \((6; 8)\); \((8; 6)\).
г) \(\begin{cases} x — y = 2 \\ \frac{x}{y} — \frac{y}{x} = 6 \end{cases}\);
Первое уравнение:
\( x — y = 2, \, y = x — 2; \)
Второе уравнение:
\( \frac{x}{x — 2} — \frac{x — 2}{x} = \frac{5}{6}; \)
\( 6x^2 — 6(x — 2)^2 = 5x \cdot (x — 2); \)
\( 6x^2 — 6x^2 + 24x — 24 = 5x^2 — 10x; \)
\( 5x^2 — 34x + 24 = 0; \)
\( D = 34^2 — 4 \cdot 5 \cdot 24 = 1156 — 480 = 676, \text{ тогда:} \)
\( x_1 = \frac{34 — 26}{2 \cdot 5} = 0.8 \) и \( x_2 = \frac{34 + 26}{2 \cdot 5} = \frac{60}{10} = 6; \)
\( y_1 = 0.8 — 2 = -1.2 \) и \( y_2 = 6 — 2 = 4; \)
Ответ: \((0.8; -1.2)\); \((6; 4)\).
a)
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}, \\
2x — y = 5.
\end{cases}
\]
Решение:
1. Из второго уравнения \(2x — y = 5\), выражаем \(y = 2x — 5\).
2. Подставляем это выражение для y в первое уравнение \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\):
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{2x — 5} = \frac{1}{6}.
\]
3. Умножаем обе части на \(6x(2x — 5)\), чтобы избавиться от знаменателей:
\[
6x(2x — 5) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{2x — 5}\right) = 6x(2x — 5) \cdot \frac{1}{6},
\]
получаем:
\[
6(2x — 5) + 6x = x(2x — 5),
\]
что приводит к:
\[
12x — 30 + 6x = 2x^2 — 5x.
\]
4. Упрощаем и приводим к квадратному уравнению:
\[
2x^2 — 23x + 30 = 0.
\]
5. Находим дискриминант:
\[
D = (-23)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 30 = 529 — 240 = 289,
\]
и корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{23 — 17}{4} = 1.5, \quad x_2 = \frac{23 + 17}{4} = 10.
\]
6. Подставляем найденные значения x в \(y = 2x — 5\):
— Для \(x_1 = 1.5\), получаем \(y_1 = -\frac{1}{3}\);
— Для \(x_2 = 10\), получаем \(y_2 = 15\).
Ответ: \((1.5; -2\); \((10; 15)\).
b)
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} — \frac{1}{y} = \frac{1}{20}, \\
x + 2y = 14.
\end{cases}
\]
Решение:
1. Из второго уравнения \(x + 2y = 14\), выражаем \(x = 14 — 2y\).
2. Подставляем это выражение для x в первое уравнение \(\frac{1}{x} — \frac{1}{y} = \frac{1}{20}\):
\[
\frac{1}{14 — 2y} — \frac{1}{y} = \frac{1}{20}.
\]
3. Умножаем обе части на 20y(14 — 2y), чтобы избавиться от знаменателей:
\[
20y(14 — 2y)\left(\frac{1}{14 — 2y} — \frac{1}{y}\right) = 20y(14 — 2y)\cdot\frac{1}{20},
\]
получаем:
\[
20y — 20(14 — 2y) = y(14 — 2y),
\]
что приводит к:
\[
20y — 280 + 40y = 14y — 2y^2.
\]
4. Упрощаем и приводим к квадратному уравнению:
\[
2y^2 + 46y — 280 = 0.
\]
5. Решаем уравнение для y:
\[
y^2 + 23y — 140 = 0.
\]
6. Находим дискриминант:
\[
D = 23^2 + 4 \cdot 140 = 529 + 560 = 1089,
\]
и корни уравнения:
\[
y_1 = \frac{-23 — 33}{2} = -28, \quad y_2 = \frac{-23 + 33}{2} = 5.
\]
7. Подставляем найденные значения y в \(x = 14 — 2y\):
— Для \(y_1 = -28\), получаем \(x_1 = 70\);
— Для \(y_2 = 5\), получаем \(x_2 = 4\).
Ответ: \((70; -28)\); \((4; 5)\).
в)
\[
\begin{cases}
x + y = 14, \\
\frac{x}{14 — x} + \frac{y}{x} = \frac{2}{12}.
\end{cases}
\]
Решение:
1. Из первого уравнения \(x + y = 14\), выражаем \(y = 14 — x\).
2. Подставляем это выражение в второе уравнение \(\frac{x}{14 — x} + \frac{14 — x}{x} = \frac{25}{12}\):
\[
\frac{x}{14 — x} + \frac{14 — x}{x} = \frac{25}{12}.
\]
3. Умножаем обе части на 12x(14 — x), чтобы избавиться от знаменателей:
\[
12x^2 + 12(14 — x)^2 = 25x(14 — x).
\]
4. Упрощаем и приводим к квадратному уравнению:
\[
49x^2 — 686x + 2352 = 0.
\]
5. Решаем уравнение для x:
\[
x^2 — 14x + 48 = 0.
\]
6. Находим дискриминант:
\[
D = 14^2 — 4 \cdot 48 = 196 — 192 = 4,
\]
и корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{14 — 2}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{14 + 2}{2} = 8.
\]
7. Подставляем найденные значения x в \(y = 14 — x\):
— Для \(x_1 = 6\), получаем \(y_1 = 8\);
— Для \(x_2 = 8\), получаем \(y_2 = 6\).
Ответ: \((6; 8)\); \((8; 6)\).
г)
\[
\begin{cases}
x — y = 2, \\
\frac{x}{x — 2} — \frac{y}{x} = \frac{5}{6}.
\end{cases}
\]
Решение:
1. Из первого уравнения \(x — y = 2\), выражаем \(y = x — 2\).
2. Подставляем это в второе уравнение \(\frac{x}{x — 2} — \frac{x — 2}{x} = \frac{5}{6}\):
\[
\frac{x}{x — 2} — \frac{x — 2}{x} = \frac{5}{6}.
\]
3. Умножаем обе части на 6x(x — 2), чтобы избавиться от знаменателей:
\[
6x^2 — 6(x — 2)^2 = 5x(x — 2).
\]
4. Упрощаем и приводим к квадратному уравнению:
\[
5x^2 — 34x + 24 = 0.
\]
5. Находим дискриминант:
\[
D = 34^2 — 4 \cdot 5 \cdot 24 = 1156 — 480 = 676,
\]
и корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{34 — 26}{2 \cdot 5} = 0.8, \quad x_2 = \frac{34 + 26}{2 \cdot 5} = 6.
\]
6. Подставляем найденные значения x в \(y = x — 2\):
— Для \(x_1 = 0.8\), получаем \(y_1 = -1.2\);
— Для \(x_2 = 6\), получаем \(y_2 = 4\).
Ответ: \((0.8; -1.2)\); \((6; 4)\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.