1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Учебник 📕 Макарычев, Миндюк — Все Части
Алгебра
9 класс учебник Макарычев
9 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.
Год
2019-2024.
Описание

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 527 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача
Решите систему уравнений:
а) система
x+3y=-1,
x2+2xy+y=3;
б) система
2x-y=1,
xy-y2+3x=-1;
в) система
2x+y-11=0,
2x+5y-y2-6=0;
г) система
2×2-3y2-5x-2y=26,
x-y=4;
д) система
4×2-9y2+x-40y=19,
2x-3y=5;
е) система
3×2+y2+8x+13y=5,
x-y+2=0.
Краткий ответ:

а)
\[
\begin{cases}
x + 3y = -1, \\
x^2 + 2xy + y = 3.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\(x = -3y — 1\);

Второе уравнение:
\[
(3y + 1)^2 — 2y(3y + 1) + y = 3;
9y^2 + 6y + 1 — 6y^2 — 2y + y = 3;\]
\[3y^2 + 5y — 2 = 0.
\]

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49, \text{тогда:}\]
\[y_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 3} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3};
\]

\[
x_1 = 6 — 1 = 5 \quad \text{и} \quad x_2 = -1 — 1 = -2;
\]

Ответ: \((5; -2)\); \((-2; \frac{1}{3})\).

б)
\[
\begin{cases}
2x — y = 1, \\
xy — y^2 + 3x = -1.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\(y = 2x — 1\);

Второе уравнение:
\[
x(2x — 1) — (2x — 1)^2 + 3x = -1;\]
\[2x^2 — x — 4x^2 + 4x — 1 + 3x = -1;
2x^2 — 6x = 0, \quad 2x(x — 3) = 0;
\]

\[
x_1 = 0, \quad y_1 = 0 — 1 = -1;
x_2 = 3, \quad y_2 = 6 — 1 = 5;
\]

Ответ: \((0; -1)\); \((3; 5)\).

в)
\[
\begin{cases}
2x + y — 11 = 0, \\
2x + 5y — y^2 — 6 = 0.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\(2x = 11 — y; \quad x = 5.5 — 0.5y\);

Второе уравнение:
\[
11 — y + 5y — y^2 — 6 = 0;
y^2 — 4y — 5 = 0.
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \text{тогда:}\]
\[y_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5, \quad y_2 = \frac{4 — 6}{2} = -1;
\]

\[
x_1 = 5.5 — 0.5 \cdot (-1) = 6, \quad x_2 = 5.5 — 0.5 \cdot 5 = 3;
\]

Ответ: \((6; -1)\); \((3; 5)\).

г)
\[
\begin{cases}
2x^2 — 3y^2 — 5x — 2y = 26, \\
x — y = 4.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\(y = x — 4\);

Первое уравнение:
\[
2x^2 — 3(x — 4)^2 — 5x — 2(x — 4) = 26;\]
\[2x^2 — 3x^2 + 24x — 48 — 5x — 2x + 8 = 26;
x^2 — 17x + 66 = 0.
\]

\[
D = 17^2 — 4 \cdot 66 = 289 — 264 = 25, \text{тогда:}\]
\[x_1 = \frac{17 — 5}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{17 + 5}{2} = 11;
\]

\[
y_1 = 6 — 4 = 2, \quad y_2 = 11 — 4 = 7;
\]

Ответ: \((6; 2)\); \((11; 7)\).

д)
\[
\begin{cases}
4x^2 — 9y^2 + x — 40y = 19, \\
2x — 3y = 5.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\(2x = 3y + 5; \quad x = 1.5y + 2.5\);

Первое уравнение:
\[
(3y + 5)^2 — 9y^2 + (1.5y + 2.5) — 40y = 19;\]
\[9y^2 + 30y + 25 — 9y^2 + 1.5y + 2.5 — 40y = 19;\]
\[27.5 — 8.5y = 19, \quad 8.5y = 8.5, \quad y = 1;
\]

\[
x = 1.5 \cdot 1 + 2.5 = 4;
\]

Ответ: \((4; 1)\).

е)
\[
\begin{cases}
3x^2 + y^2 + 8x + 13y = 5, \\
x — y + 2 = 0.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\(y = x + 2\);

Первое уравнение:
\[
3x^2 + (x + 2)^2 + 8x + 13(x + 2) = 5;\]
\[3x^2 + x^2 + 4x + 4 + 8x + 13x + 26 = 5;
4x^2 + 25x + 25 = 0.
\]

\[
D = 25^2 — 4 \cdot 4 \cdot 25 = 625 — 400 = 225, \text{тогда:}\]
\[x_1 = \frac{-25 — 15}{2 \cdot 4} = -5, \quad x_2 = \frac{-25 + 15}{2 \cdot 4} = -1.25;
\]

\[
y_1 = -5 + 2 = -3, \quad y_2 = -1.25 + 2 = 0.75;
\]

Ответ: \((-5; -3)\); \((-1.25; 0.75)\).

Подробный ответ:

a)

\[
\begin{cases}
x + 3y = -1, \\
x^2 + 2xy + y = 3.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из первого уравнения \(x + 3y = -1\), выражаем x:

\(x = -3y — 1\).

2. Подставляем это выражение в второе уравнение \(x^2 + 2xy + y = 3\):

\[
(-3y — 1)^2 + 2(-3y — 1)y + y = 3;
\]

3. Раскрываем скобки и упрощаем:

\[
9y^2 + 6y + 1 — 6y^2 — 2y + y = 3 \quad \Rightarrow \quad 3y^2 + 5y — 2 = 0.
\]

4. Решаем это квадратное уравнение для y, используя дискриминант:

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49;
\]

Тогда: \(y_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 3} = -2\) и \(y_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}\).

5. Подставляем найденные значения y в \(x = -3y — 1\):

— Для \(y_1 = -2\), получаем \(x_1 = 6 — 1 = 5\);

— Для \(y_2 = \frac{1}{3}\), получаем \(x_2 = -1 — 1 = -2\).

Ответ: \((5; -2)\); \((-2; \frac{1}{3})\).

b)

\[
\begin{cases}
2x — y = 1, \\
xy — y^2 + 3x = -1.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из первого уравнения \(2x — y = 1\), выражаем y:

\(y = 2x — 1\).

2. Подставляем это в второе уравнение \(xy — y^2 + 3x = -1\):

\[
x(2x — 1) — (2x — 1)^2 + 3x = -1;
\]

3. Раскрываем скобки и упрощаем:

\[
2x^2 — x — 4x^2 + 4x — 1 + 3x = -1 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 — 6x =\]

\[0 \quad \Rightarrow \quad 2x(x — 3) = 0;
\]

4. Решаем уравнение для x:

\(x_1 = 0\), и \(y_1 = 0 — 1 = -1\);

\(x_2 = 3\), и \(y_2 = 6 — 1 = 5\).

Ответ: \((0; -1)\); \((3; 5)\).

в)

\[
\begin{cases}
2x + y — 11 = 0, \\
2x + 5y — y^2 — 6 = 0.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из первого уравнения \(2x + y — 11 = 0\), выражаем \(2x = 11 — y\) и \(x = 5.5 — 0.5y\).

2. Подставляем это выражение для \(x\) во второе уравнение \(2x + 5y — y^2 — 6 = 0\):

\[
11 — y + 5y — y^2 — 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 — 4y — 5 = 0.
\]

3. Решаем квадратное уравнение для y с помощью дискриминанта:

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36;
\]

Тогда: \(y_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5\) и \(y_2 = \frac{4 — 6}{2} = -1\).

4. Подставляем значения y в \(x = 5.5 — 0.5y\):

— Для \(y_1 = 5\), получаем \(x_1 = 6\);

— Для \(y_2 = -1\), получаем \(x_2 = 3\).

Ответ: \((6; -1)\); \((3; 5)\).

г)

\[
\begin{cases}
2x^2 — 3y^2 — 5x — 2y = 26, \\
x — y = 4.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из второго уравнения \(x — y = 4\), выражаем \(y = x — 4\).

2. Подставляем это в первое уравнение \(2x^2 — 3(x — 4)^2 — 5x — 2(x — 4) = 26\):

\[
2x^2 — 3(x — 4)^2 — 5x — 2(x — 4) = 26;
\]

3. Раскрываем скобки и упрощаем:

\[
2x^2 — 3x^2 + 24x — 48 — 5x — 2x + 8 = 26 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 17x + 66 = 0.
\]

4. Решаем это уравнение для x с помощью дискриминанта:

\[
D = 17^2 — 4 \cdot 66 = 289 — 264 = 25;
\]

Тогда: \(x_1 = \frac{17 — 5}{2} = 6\) и \(x_2 = \frac{17 + 5}{2} = 11\).

5. Подставляем эти значения x в \(y = x — 4\):

— Для \(x_1 = 6\), получаем \(y_1 = 2\);

— Для \(x_2 = 11\), получаем \(y_2 = 7\).

Ответ: \((6; 2)\); \((11; 7)\).

д)

\[
\begin{cases}
4x^2 — 9y^2 + x — 40y = 19, \\
2x — 3y = 5.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из второго уравнения \(2x — 3y = 5\), выражаем \(x = 1.5y + 2.5\).

2. Подставляем это в первое уравнение \(4x^2 — 9y^2 + x — 40y = 19\):

\[
(3y + 5)^2 — 9y^2 + (1.5y + 2.5) — 40y = 19;
\]

3. Раскрываем скобки и упрощаем:

\[
9y^2 + 30y + 25 — 9y^2 + 1.5y + 2.5 — 40y = 19 \quad \Rightarrow \quad 27.5 — 8.5y =\]

\[19 \quad \Rightarrow \quad 8.5y = 8.5 \quad \Rightarrow \quad y = 1.
\]

4. Подставляем значение \(y = 1\) в \(x = 1.5y + 2.5\):

\(x = 1.5 \cdot 1 + 2.5 = 4\).

Ответ: \((4; 1)\).

е)

\[
\begin{cases}
3x^2 + y^2 + 8x + 13y = 5, \\
x — y + 2 = 0.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из второго уравнения \(x — y + 2 = 0\), выражаем \(y = x + 2\).

2. Подставляем это в первое уравнение \(3x^2 + (x + 2)^2 + 8x + 13(x + 2) = 5\):

\[
3x^2 + (x + 2)^2 + 8x + 13(x + 2) = 5;
\]

3. Раскрываем скобки и упрощаем:

\[
3x^2 + x^2 + 4x + 4 + 8x + 13x + 26 = 5 \quad \Rightarrow \quad 4x^2 + 25x + 25 = 0.
\]

4. Решаем это уравнение для x с помощью дискриминанта:

\[
D = 25^2 — 4 \cdot 4 \cdot 25 = 625 — 400 = 225;
\]

Тогда: \(x_1 = \frac{-25 — 15}{2 \cdot 4} = -5\) и \(x_2 = \frac{-25 + 15}{2 \cdot 4} = -1.25\).

5. Подставляем эти значения x в \(y = x + 2\):

— Для \(x_1 = -5\), получаем \(y_1 = -3\);

— Для \(x_2 = -1.25\), получаем \(y_2 = 0.75\).

Ответ: \((-5; -3)\); \((-1.25; 0.75)\).



Общая оценка
4.3 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы
Как выбрать ГДЗ по математике

Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.