1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Учебник 📕 Макарычев, Миндюк — Все Части
Алгебра
9 класс учебник Макарычев
9 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.
Год
2019-2024.
Описание

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 525 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача
Сколько решений может иметь система уравнений
система
х2 + у2 = r2,
У = -x2 + 4, где r — положительное число?
Краткий ответ:

\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = r^2, \\
y = -x^2 + 4.
\end{cases}
\]
1) Графики функций:

2) Два решения:
\[
4 — y + y^2 = r^2; \quad y^2 — y + (4 — r^2) = 0.
\]

\[
D = 1^2 — 4(4 — r^2) = 0; \quad 4r^2 = 15, \quad r = \pm 0,5\sqrt{15}.
\]

Ответ:
— Если \(0 < r < 0,5\sqrt{15}\), то решений нет;
— Если \(r = 0,5\sqrt{15}\) и \(r > 4\), то два решения;
— Если \(0,5\sqrt{15} < r < 4\), то четыре решения;
— Если \(r = 4\), то три решения.

Подробный ответ:

Задача:

\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = r^2, \\
y = -x^2 + 4.
\end{cases}
\]

1) Графики функций:

1. Первое уравнение \(x^2 + y^2 = r^2\) описывает окружность с радиусом \(r\) и центром в начале координат (0, 0).

2. Второе уравнение \(y = -x^2 + 4\) описывает параболу с вершиной в точке (0, 4) и направленную вниз.

3. Графики этих функций могут пересекаться в зависимости от значения радиуса \(r\).

2) Два решения:

1. Начнем с того, что подставим уравнение \(y = -x^2 + 4\) во второе уравнение \(x^2 + y^2 = r^2\):

\[
x^2 + (-x^2 + 4)^2 = r^2.
\]

2. Раскроем скобки и упростим:

\[
x^2 + (x^4 — 8x^2 + 16) = r^2 \quad \Rightarrow \quad x^4 — 7x^2 + 16 = r^2.
\]

3. Перепишем уравнение относительно \(x^2\):

\[
x^4 — 7x^2 + (16 — r^2) = 0.
\]

4. Подставим \(z = x^2\), получим квадратное уравнение для \(z\):

\[
z^2 — 7z + (16 — r^2) = 0.
\]

5. Найдем дискриминант этого уравнения:

\[
D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (16 — r^2) = 49 — 4(16 — r^2) =\]

\[49 — 64 + 4r^2 = 4r^2 — 15.
\]

6. Теперь рассмотрим условия для существования решений:

  • Если \(D < 0\), то решений нет;
  • Если \(D = 0\), то одно решение;
  • Если \(D > 0\), то два решения для \(x^2\).

7. Для \(D = 0\) имеем:

\[
4r^2 — 15 = 0 \quad \Rightarrow \quad r^2 = \frac{15}{4} \quad \Rightarrow \quad r = \pm 0.5\sqrt{15}.
\]

8. Рассмотрим различные диапазоны для \(r\):

  • Если \(0 < r < 0.5\sqrt{15}\), то решений нет;
  • Если \(r = 0.5\sqrt{15}\) и \(r > 4\), то два решения;
  • Если \(0.5\sqrt{15} < r < 4\), то четыре решения;
  • Если \(r = 4\), то три решения.

Ответ:

  • Если \(0 < r < 0.5\sqrt{15}\), то решений нет;
  • Если \(r = 0.5\sqrt{15}\) и \(r > 4\), то два решения;
  • Если \(0.5\sqrt{15} < r < 4\), то четыре решения;
  • Если \(r = 4\), то три решения.


Общая оценка
5 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы
Как выбрать ГДЗ по математике

Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.