ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 515 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача (а):

\[
\begin{cases}
4x(x + y) + y^2 = 49, \\
4x(x — y) + y^2 = 81.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Разность уравнений:
\[
4x \cdot (-2y) = 32, \quad -8xy = 32.
\]
Отсюда:
\[
xy = -4, \quad y = -\frac{4}{x}.
\]

2. Первое уравнение:
\[
4x \left(x — \frac{4}{x}\right) + \frac{16}{x^2} = 49.
\]
Упростим:
\[
4x^2 — 16 + \frac{16}{x^2} = 49.
\]
Преобразуем:
\[
4x^4 — 65x^2 + 16 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = 65^2 — 4 \cdot 4 \cdot 16 = 4225 — 256 = 3969.
\]
Корни:
\[
x_1^2 = \frac{65 — 63}{8} = 0.25, \quad x_2^2 = \frac{65 + 63}{8} = 16.
\]
Отсюда:
\[
x_1 = \pm \sqrt{0.25} = \pm 0.5, \quad x_2 = \pm \sqrt{16} = \pm 4.
\]
Найдём \(y\):
\[
y_1 = -\frac{4}{\pm 0.5} = \mp 8, \quad y_2 = -\frac{4}{\pm 4} = \mp 1.
\]

Ответ:
\[
(-0.5; 8), (0.5; -8), (-4; 1), (4; -1).
\]

Задача (б):

\[
\begin{cases}
3x(3x — 4y) + 4y^2 = 64, \\
3x(3x + 4y) + 4y^2 = 16.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Разность уравнений:
\[
3x \cdot (-8y) = 48, \quad -24xy = 48.
\]
Отсюда:
\[
xy = -2, \quad y = -\frac{2}{x}.
\]

2. Первое уравнение:
\[
3x \left(3x — \frac{8}{x}\right) + 4 \cdot \frac{4}{x^2} = 64.
\]
Упростим:
\[
9x^2 — 24 + \frac{16}{x^2} = 64.
\]
Преобразуем:
\[
9x^4 — 40x^2 + 16 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = 40^2 — 4 \cdot 9 \cdot 16 = 1600 — 576 = 1024.
\]
Корни:
\[
x_1^2 = \frac{40 — 32}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}, \quad x_2^2 = \frac{40 + 32}{18} = \frac{72}{18} = 4.
\]
Отсюда:
\[
x_1 = \pm \sqrt{\frac{4}{9}} = \pm \frac{2}{3}, \quad x_2 = \pm \sqrt{4} = \pm 2.
\]
Найдём \(y\):
\[
y_1 = -\frac{2}{\pm \frac{2}{3}} = \mp 3, \quad y_2 = -\frac{2}{\pm 2} = \mp 1.
\]

Ответ:
\[
(-\frac{2}{3}; 3), (\frac{2}{3}; -3), (-2; 1), (2; -1).
\]

Задача (а):

Дана система:

\[
\begin{cases}
4x(x + y) + y^2 = 49, \\
4x(x — y) + y^2 = 81.
\end{cases}
\]

Решение:

Вычтем второе уравнение из первого:

\[
4x(x + y) + y^2 — \left(4x(x — y) + y^2\right) = 49 — 81.
\]

Упростим:

\[
4x \cdot (-2y) = -32 \quad \Rightarrow \quad -8xy = -32 \quad \Rightarrow \quad xy = -4.
\]

Отсюда:

\[
y = -\frac{4}{x}.
\]

Подставим \(y = -\frac{4}{x}\) в первое уравнение:

\[
4x\left(x — \frac{4}{x}\right) + \left(-\frac{4}{x}\right)^2 = 49.
\]

Упростим:

\[
4x^2 — 16 + \frac{16}{x^2} = 49.
\]

Приведём к общему виду:

\[
4x^4 — 65x^2 + 16 = 0.
\]

Решим это уравнение. Пусть \(z = x^2\), тогда:

\[
4z^2 — 65z + 16 = 0.
\]

Дискриминант:

\[
D = 65^2 — 4 \cdot 4 \cdot 16 = 4225 — 256 = 3969.
\]

Найдём корни:

\[
z_1 = \frac{65 — 63}{8} = 0.25, \quad z_2 = \frac{65 + 63}{8} = 16.
\]

Возвращаясь к \(x^2\):

\[
x_1^2 = 0.25 \quad \Rightarrow \quad x_1 = \pm 0.5, \quad x_2^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \pm 4.
\]

Найдём \(y\) для каждого значения \(x\):

\[
y = -\frac{4}{x}.
\]

Если \(x = 0.5\), то \(y = -8\). Если \(x = -0.5\), то \(y = 8\).
Если \(x = 4\), то \(y = -1\). Если \(x = -4\), то \(y = 1\).

Ответ: \((-0.5; 8), (0.5; -8), (-4; 1), (4; -1)\).

Задача (б):

Дана система:

\[
\begin{cases}
3x(3x — 4y) + 4y^2 = 64, \\
3x(3x + 4y) + 4y^2 = 16.
\end{cases}
\]

Решение:

Вычтем второе уравнение из первого:

\[
3x(3x — 4y) + 4y^2 — \left(3x(3x + 4y) + 4y^2\right) = 64 — 16.
\]

Упростим:

\[
3x \cdot (-8y) = 48 \quad \Rightarrow \quad -24xy = 48 \quad \Rightarrow \quad xy = -2.
\]

Отсюда:

\[
y = -\frac{2}{x}.
\]

Подставим \(y = -\frac{2}{x}\) в первое уравнение:

\[
3x\left(3x — \frac{8}{x}\right) + 4\left(-\frac{2}{x}\right)^2 = 64.
\]

Упростим:

\[
9x^2 — 24 + \frac{16}{x^2} = 64.
\]

Приведём к общему виду:

\[
9x^4 — 40x^2 + 16 = 0.
\]

Решим это уравнение. Пусть \(z = x^2\), тогда:

\[
9z^2 — 40z + 16 = 0.
\]

Дискриминант:

\[
D = 40^2 — 4 \cdot 9 \cdot 16 = 1600 — 576 = 1024.
\]

Найдём корни:

\[
z_1 = \frac{40 — 32}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}, \quad z_2 = \frac{40 + 32}{18} = \frac{72}{18} = 4.
\]

Возвращаясь к \(x^2\):

\[
x_1^2 = \frac{4}{9} \quad \Rightarrow \quad x_1 = \pm \frac{2}{3}, \quad x_2^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \pm 2.
\]

Найдём \(y\) для каждого значения \(x\):

\[
y = -\frac{2}{x}.
\]

Если \(x = \frac{2}{3}\), то \(y = -3\). Если \(x = -\frac{2}{3}\), то \(y = 3\).
Если \(x = 2\), то \(y = -1\). Если \(x = -2\), то \(y = 1\).

Ответ: \((-\frac{2}{3}; 3), (\frac{2}{3}; -3), (-2; 1), (2; -1)\).