Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 514 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Задача (а):
\[
\begin{cases}
x^2 + xy + y^2 = 7, \\
x + xy + y = 5.
\end{cases}
\]
Решение:
1. Сумма уравнений:
\[
x^2 + 2xy + y^2 + x + y = 12, \quad (x + y)^2 + (x + y) — 12 = 0.
\]
2. Пусть \(z = x + y\), тогда:
\[
z^2 + z — 12 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49.
\]
Корни:
\[
z_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad z_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3.
\]
3. Первое значение (\(z_1 = -4\)):
\[
x + y = -4, \quad y = -x — 4.
\]
Подставим в уравнение:
\[
x + x(-x — 4) + (-x — 4) = 5, \quad x — x^2 — 4x — x — 4 = 5.
\]
Упростим:
\[
x^2 + 4x + 9 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 — 36 = -20.
\]
\(D < 0\), значит решений нет.
4. Второе значение (\(z_2 = 3\)):
\[
x + y = 3, \quad y = 3 — x.
\]
Подставим в уравнение:
\[
x + x(3 — x) + (3 — x) = 5, \quad x + 3x — x^2 + 3 — x = 5.
\]
Упростим:
\[
x^2 — 3x + 2 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1.
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2.
\]
Найдём \(y\):
\[
y_1 = 3 — 1 = 2, \quad y_2 = 3 — 2 = 1.
\]
Ответ:
\[
(1; 2), (2; 1).
\]
Задача (б):
\[
\begin{cases}
x^2 + xy + y^2 = 19, \\
x + xy + y = 1.
\end{cases}
\]
Решение:
1. Сумма уравнений:
\[
x^2 + 2xy + y^2 + x + y = 20, \quad (x + y)^2 + (x + y) — 20 = 0.
\]
2. Пусть \(z = x + y\), тогда:
\[
z^2 + z — 20 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81.
\]
Корни:
\[
z_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5, \quad z_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4.
\]
3. Первое значение (\(z_1 = -5\)):
\[
x + y = -5, \quad y = -x — 5.
\]
Подставим в уравнение:
\[
x + x(-x — 5) + (-x — 5) = 1, \quad x — x^2 — 5x — x — 5 = 1.
\]
Упростим:
\[
x^2 + 5x + 6 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1.
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2.
\]
Найдём \(y\):
\[
y_1 = -3 — 5 = -8, \quad y_2 = -2 — 5 = -7.
\]
4. Второе значение (\(z_2 = 4\)):
\[
x + y = 4, \quad y = 4 — x.
\]
Подставим в уравнение:
\[
x + x(4 — x) + (4 — x) = 1, \quad x + 4x — x^2 + 4 — x = 1.
\]
Упростим:
\[
x^2 — 4x — 3 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = 4^2 + 4 \cdot 3 = 16 + 12 = 28.
\]
Корни:
\[
x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}.
\]
Найдём \(y\):
\[
y_1 = 4 — (2 + \sqrt{7}) = 2 — \sqrt{7}, \quad y_2 = 4 — (2 — \sqrt{7}) = 2 + \sqrt{7}.
\]
Ответ:
\[
(-3; -2), (-2; -3), (2 + \sqrt{7}; 2 — \sqrt{7}), (2 — \sqrt{7}; 2 + \sqrt{7}).
\]
Задача (а):
Дана система уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 7, \\
x + xy + y = 5.
\end{cases}
\]
Решение:
1. Сумма уравнений:
\( x^2 + 2xy + y^2 + x + y = 12, \quad (x + y)^2 + (x + y) — 12 = 0.
\)
2. Пусть \(z = x + y\), тогда:
\( z^2 + z — 12 = 0.
\)
Дискриминант:
\( D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49.
\)
Корни:
\( z_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad z_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3.
\)
3. Первое значение (\(z_1 = -4\)):
\( x + y = -4, \quad y = -x — 4.
\)
Подставим в уравнение:
\( x + x(-x — 4) + (-x — 4) = 5, \quad x — x^2 — 4x — x — 4 = 5.
\)
Упростим:
\( x^2 + 4x + 9 = 0.
\)
Дискриминант:
\( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 — 36 = -20.
\)
Так как дискриминант отрицательный, решений нет.
4. Второе значение (\(z_2 = 3\)):
\( x + y = 3, \quad y = 3 — x.
\)
Подставим в уравнение:
\( x + x(3 — x) + (3 — x) = 5, \quad x + 3x — x^2 + 3 — x = 5.
\)
Упростим:
\( x^2 — 3x + 2 = 0.
\)
Дискриминант:
\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1.
\)
Корни:
\( x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2.
\)
Найдём \(y\):
\( y_1 = 3 — 1 = 2, \quad y_2 = 3 — 2 = 1.
\)
Ответ: \((-4; -3), (-3; -4), (3; 4), (4; 3)\).
Задача (б):
Дана система уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 26, \\
x + y = 6.
\end{cases}
\]
Решение:
Второе уравнение:
\( x + y = 6, \quad y = 6 — x.
\)
Подставим во второе уравнение:
\( x^2 + (6 — x)^2 = 26.
\)
Раскроем скобки:
\( x^2 + 36 — 12x + x^2 = 26.
\)
Приведём подобные члены:
\( 2x^2 — 12x + 10 = 0.
\)
Упростим:
\( x^2 — 6x + 5 = 0.
\)
Дискриминант:
\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16.
\)
Корни:
\( x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5.
\)
Найдём \(y\):
\( y_1 = 6 — 1 = 5, \quad y_2 = 6 — 5 = 1.
\)
Ответ: \((1; 5), (5; 1)\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.