ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 511 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача (а):
\[
\begin{cases}
\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 25, \\
x^2 — y^2 = 7.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Первое уравнение:
\[
12x^2 — 25xy + 12y^2 = 0;
\]
Дискриминант:
\[
D = (25y)^2 — 4 \cdot 12 \cdot 12y^2 = 625y^2 — 576y^2 = 49y^2.
\]
Тогда:
\[
x_1 = \frac{25y — 7y}{2 \cdot 12} = \frac{18y}{24} = \frac{3y}{4} = 0{,}75y;
\]
\[
x_2 = \frac{25y + 7y}{2 \cdot 12} = \frac{32y}{24} = \frac{4y}{3}.
\]

2. Первое значение:
\[
\frac{9y^2}{16} — y^2 = 7;
\]

3. Второе значение:
\[
\frac{16y^2}{9} — y^2 = 7;
\]
\[
\frac{7y^2}{9} = 7, \,\, y^2 = 9, \,\, y = \pm 3.
\]
Тогда \(x = \pm 4\).

Ответ:
\[
(-4; -3), \, (4; 3).
\]

Задача (б):
\[
\begin{cases}
\frac{x}{y} — \frac{y}{x} = 2{,}1, \\
x^2 + y^2 = 29.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Первое уравнение:
\[
10x^2 — 21xy — 10y^2 = 0;
\]
Дискриминант:
\[
D = (21y)^2 + 4 \cdot 10 \cdot 10y^2 = 441y^2 + 400y^2 = 841y^2.
\]
Тогда:
\[
x_1 = \frac{21y — 29y}{2 \cdot 10} = \frac{-8y}{20} = -\frac{2y}{5};
\]
\[
x_2 = \frac{21y + 29y}{2 \cdot 10} = \frac{50y}{20} = \frac{5y}{2}.
\]

2. Первое значение:
\[
\frac{4y^2}{25} + y^2 = 29;
\]
\[
\frac{29y^2}{25} = 29, \,\, y^2 = 25, \,\, y = \pm 5.
\]
Тогда \(x = \pm 2\).

3. Второе значение:
\[
\frac{25y^2}{4} + y^2 = 29;
\]
\[
\frac{29y^2}{4} = 29, \,\, y^2 = 4, \,\, y = \pm 2.
\]
Тогда \(x = \pm 5\).

Ответ:
\[
(-2; 5), \, (2; -5), \, (-5; -2), \, (5; 2).
\]

Задача (а):

Задача (б):