ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 508 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Дана система уравнений:

1) \(x^2 + xy — 2y^2 — x + y = 0\),
2) \(x^2 + y^2 = 8\).

Приведем уравнение к удобному виду:

\(x^2 + xy — 2y^2 — x + y = 0;\)
\(x^2 + 2xy — x — xy — 2y^2 + y = 0;\)
\(x(x + 2y — 1) — y(x + 2y — 1) = 0;\)
\((x — y)(x + 2y — 1) = 0.\)

Отсюда два случая:

• \(x_1 = y\);
• \(x_2 = 1 — 2y\).

Подставим \(x = y\) во второе уравнение:

\(y^2 + y^2 = 8;\)
\(2y^2 = 8;\)
\(y^2 = 4;\)
\(y = \pm 2.\)

Соответственно, \(x = \pm 2.\)

Решения: \((-2; -2)\), \((2; 2)\).

Подставим \(x = 1 — 2y\) во второе уравнение:

\((1 — 2y)^2 + y^2 = 8;\)
\(1 — 4y + 4y^2 + y^2 = 8;\)
\(5y^2 — 4y — 7 = 0.\)

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант:

\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 16 + 140 = 156.\)

Корни:

\(y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{156}}{2 \cdot 5} = \frac{4 \pm 2\sqrt{39}}{10} = \frac{2 \pm \sqrt{39}}{5}.\)

Соответствующие значения \(x\):

\(x = 1 — 2y = 1 — \frac{4 \pm 2\sqrt{39}}{5} = \frac{1 \pm 2\sqrt{39}}{5}.\)

Решения:

• \(\left(\frac{1 — 2\sqrt{39}}{5}; \frac{2 + \sqrt{39}}{5}\right)\);
• \(\left(\frac{1 + 2\sqrt{39}}{5}; \frac{2 — \sqrt{39}}{5}\right).\)

Дана система уравнений:

1) \(x^2 — 6xy + 5y^2 — x + 5y = 0\),
2) \(x^2 — 20y^2 = 5\).

Приведем уравнение к удобному виду:

\(x^2 — 6xy + 5y^2 — x + 5y = 0;\)
\(x^2 — xy — x — 5xy + 5y^2 + 5y = 0;\)
\(x(x — y — 1) — 5y(x — y — 1) = 0;\)
\((x — 5y)(x — y — 1) = 0.\)

Отсюда два случая:

• \(x_1 = 5y\);
• \(x_2 = y + 1\).

Подставим \(x = 5y\) во второе уравнение:

\(25y^2 — 20y^2 = 5;\)
\(5y^2 = 5;\)
\(y^2 = 1;\)
\(y = \pm 1.\)

Соответственно, \(x = \pm 5.\)

Решения: \((-5; -1)\), \((5; 1)\).

Подставим \(x = y + 1\) во второе уравнение:

\((y + 1)^2 — 20y^2 = 5;\)
\(y^2 + 2y + 1 — 20y^2 = 5;\)
\(19y^2 — 2y + 4 = 0.\)

Дискриминант:

\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 19 \cdot 4 = -300.\)

Так как \(D < 0\), решений нет.

Решения: \((-5; -1)\), \((5; 1)\).