ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 507 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решить систему уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
(x — 2y)(x + 3y) = 0 \\
x^2 — y^2 = 12
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
(x — 2y)(x + 3y) = 0
\]

\[
x_1 = 2y, \quad x_2 = -3y
\]

Первое значение
\[
x = 2y
\]

Подставим в \( x^2 — y^2 = 12 \):

\[
(2y)^2 — y^2 = 12
\]

\[
4y^2 — y^2 = 12
\]

\[
3y^2 = 12
\]

\[
y^2 = 4, \quad y = \pm 2
\]

Найдем \( x \):

\[
x_1 = 2(2) = 4, \quad x_2 = 2(-2) = -4
\]

Второе значение:
\[
x = -3y
\]

Подставим в \( x^2 — y^2 = 12 \):

\[
(-3y)^2 — y^2 = 12
\]

\[
9y^2 — y^2 = 12
\]

\[
8y^2 = 12
\]

\[
y^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad y = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}
\]

Найдем \( x \):

\[
x_1 = -3\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{6}}{2}, \quad x_2 = -3\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{6}}{2}
\]

Ответ: \((-4; -2)\); \((-1.5\sqrt{6}; 0.5\sqrt{6})\); \((4; 2)\); \((1.5\sqrt{6}; -0.5\sqrt{6})\).

б)
\[
\begin{cases}
x^2 — 4xy + 3y^2 + 2x — 6y = 0 \\
x^2 — xy + y^2 = 7
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
x^2 — 4xy + 3y^2 + 2x — 6y = 0
\]

\[
x^2 — xy + 2x — 3xy + 3y^2 — 6y = 0
\]

\[
x(x — y + 2) — 3y(x — y + 2) = 0
\]

\[
(x — 3y)(x — y + 2) = 0
\]

\[
x_1 = 3y, \quad x_2 = y — 2
\]

Первое значение:
\[
x = 3y
\]

Подставим в \( x^2 — xy + y^2 = 7 \):

\[
(3y)^2 — (3y)y + y^2 = 7
\]

\[
9y^2 — 3y^2 + y^2 = 7
\]

\[
7y^2 = 7
\]

\[
y^2 = 1, \quad y = \pm 1
\]

Найдем \( x \):

\[
x_1 = 3(1) = 3, \quad x_2 = 3(-1) = -3
\]

Второе значение:
\[
x = y — 2
\]

Подставим в \( x^2 — xy + y^2 = 7 \):

\[
(y — 2)^2 — (y — 2)y + y^2 = 7
\]

\[
y^2 — 4y + 4 — y^2 + 2y + y^2 = 7
\]

\[
y^2 — 2y + 4 = 7
\]

\[
y^2 — 2y — 3 = 0
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16
\]

\[
y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3
\]

Найдем \( x \):

\[
x_1 = -1 — 2 = -3, \quad x_2 = 3 — 2 = 1
\]

Ответ: \((-3; -1)\), \((1; 3)\), \((3; 1)\).

Задача (a)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
(x — 2y)(x + 3y) = 0 \\
x^2 — y^2 = 12
\end{cases}
\]

Шаг 1: Разбираем первое уравнение

Первое уравнение: \( (x — 2y)(x + 3y) = 0 \)

Это уравнение имеет два возможных значения для \(x\):

• \( x_1 = 2y \)
• \( x_2 = -3y \)

Шаг 2: Подставляем в \( x^2 — y^2 = 12 \)

Для \( x = 2y \):

Подставим в уравнение \( x^2 — y^2 = 12 \):

\( (2y)^2 — y^2 = 12 \)

\( 4y^2 — y^2 = 12 \)

\( 3y^2 = 12 \)

\( y^2 = 4, \quad y = \pm 2 \)

Найдем \( x \):

Для \( y_1 = 2 \), \( x_1 = 2(2) = 4 \),

Для \( y_2 = -2 \), \( x_2 = 2(-2) = -4 \).

Для \( x = -3y \):

Подставим в уравнение \( x^2 — y^2 = 12 \):

\( (-3y)^2 — y^2 = 12 \)

\( 9y^2 — y^2 = 12 \)

\( 8y^2 = 12 \)

\( y^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \)

Найдем \( x \):

Для \( y_1 = \frac{\sqrt{6}}{2} \), \( x_1 = -3\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{6}}{2} \),

Для \( y_2 = -\frac{\sqrt{6}}{2} \), \( x_2 = \frac{3\sqrt{6}}{2} \).

Ответ: \((-4; -2)\); \((-1.5\sqrt{6}; 0.5\sqrt{6})\); \((4; 2)\); \((1.5\sqrt{6}; -0.5\sqrt{6})\).

Задача (б)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 — 4xy + 3y^2 + 2x — 6y = 0 \\
x^2 — xy + y^2 = 7
\end{cases}
\]

Шаг 1: Преобразуем первое уравнение

Первое уравнение:

\( x^2 — 4xy + 3y^2 + 2x — 6y = 0 \)

Перепишем это уравнение:

\( x^2 — xy + 2x — 3xy + 3y^2 — 6y = 0 \)

Применим факторизацию:

\( x(x — y + 2) — 3y(x — y + 2) = 0 \)

\( (x — 3y)(x — y + 2) = 0 \)

Теперь мы имеем два случая:

• \( x_1 = 3y \)
• \( x_2 = y — 2 \)

Шаг 2: Подставляем в \( x^2 — xy + y^2 = 7 \)

Для \( x = 3y \):

Подставим в уравнение \( x^2 — xy + y^2 = 7 \):

\( (3y)^2 — (3y)y + y^2 = 7 \)

\( 9y^2 — 3y^2 + y^2 = 7 \)

\( 7y^2 = 7 \)

\( y^2 = 1, \quad y = \pm 1 \)

Найдем \( x \):

Для \( y_1 = 1 \), \( x_1 = 3(1) = 3 \),

Для \( y_2 = -1 \), \( x_2 = 3(-1) = -3 \).

Для \( x = y — 2 \):

Подставим в уравнение \( x^2 — xy + y^2 = 7 \):

\( (y — 2)^2 — (y — 2)y + y^2 = 7 \)

\( y^2 — 4y + 4 — y^2 + 2y + y^2 = 7 \)

\( y^2 — 2y + 4 = 7 \)

\( y^2 — 2y — 3 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение:

\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 16 \)

\( y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)

Найдем \( x \):

Для \( y_1 = -1 \), \( x_1 = -1 — 2 = -3 \),

Для \( y_2 = 3 \), \( x_2 = 3 — 2 = 1 \).

Ответ: \( (-3; -1), (1; 3), (3; 1) \)