ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 501 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

(Задача-исследование.) При каких значениях k и b система неравенств y < = 3x-1 задаёт на координатной плоскости: y > = kx + b

а) полосу; б) угол; в) прямую?

Может ли эта система не иметь решений?

1) Обсудите, какое множество точек задаст на координатной плоскости каждое неравенство системы.

2) Выясните, при каких значениях k и b система неравенств задаёт полосу; угол; прямую.

3) Для каждого случая проиллюстрируйте свой ответ рисунком.

4) Приведите пример, когда такая система неравенств не имеет решений.

Краткий ответ:

\[
\begin{cases}
y \leq 3x — 1 \\
y \geq kx + b
\end{cases}
\]

Задаёт полуплоскость:
\(y \leq 3x — 1\) — нижнюю;
\(y \geq kx + b\) — верхнюю.

а) Задают полосу:
Ответ: \(k = 3\); \(b < -1\).

б) Задают угол:
Ответ: \(k \neq 3\); \(b \in \mathbb{R}\).

в) Задают прямую:
Ответ: \(k = 3\); \(b = -1\).

Нет решений:
\(k = 3, b > -1\);
\(k = 3, b = 2\).

Подробный ответ:

а) Задают полосу:

\[
\begin{cases}
y \leq 3x — 1 \\
y \geq kx + b
\end{cases}
\]

1. Неравенство \(y \leq 3x — 1\) задаёт полуплоскость ниже прямой \(y = 3x — 1\).

2. Неравенство \(y \geq kx + b\) задаёт полуплоскость выше прямой \(y = kx + b\).

Для того чтобы система задавала полосу, прямые \(y = 3x — 1\) и \(y = kx + b\) должны быть параллельны (\(k = 3\)) и находиться на расстоянии друг от друга.

Ответ: \(k = 3\); \(b < -1\).

б) Задают угол:

\[
\begin{cases}
y \leq 3x — 1 \\
y \geq kx + b
\end{cases}
\]

1. Для того чтобы система задавала угол, прямые \(y = 3x — 1\) и \(y = kx + b\) должны пересекаться, то есть их угловые коэффициенты должны быть различны (\(k \neq 3\)).

Параметр \(b\) может быть любым действительным числом (\(b \in \mathbb{R}\)).

Ответ: \(k \neq 3\); \(b \in \mathbb{R}\).

в) Задают прямую:

\[
\begin{cases}
y \leq 3x — 1 \\
y \geq kx + b
\end{cases}
\]

1. Для того чтобы система задавала прямую, обе прямые должны совпадать, то есть их угловые коэффициенты и свободные члены должны быть равны (\(k = 3\), \(b = -1\)).

Ответ: \(k = 3\); \(b = -1\).

г) Нет решений:

\[
\begin{cases}
y \leq 3x — 1 \\
y \geq kx + b
\end{cases}
\]

1. Система не имеет решений, если прямые \(y = 3x — 1\) и \(y = kx + b\) параллельны (\(k = 3\)) и находятся так, что верхняя полуплоскость одной не пересекается с нижней полуплоскостью другой.

2. Это происходит, если \(b > -1\) или \(b = 2\).

Ответ: \(k = 3, b > -1\); \(k = 3, b = 2\).

Оцени решение