ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 489 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

a)
\[x^2 + y^2 — 6x — 4y + 13 \leq 0\]

\[x^2 — 6x + 9 + y^2 — 4y + 4 \leq 0\]

\[(x — 3)^2 + (y — 2)^2 \leq 0\]

\[x — 3 = 0, \, x = 3\]

\[y — 2 = 0, \, y = 2\]

Ответ: точка (3; 2)

б)
\[x^2 — 4x — y + 5 \geq 0\]

\[x^2 — 4x + 4 — y + 1 \geq 0\]

\[y \leq (x — 2)^2 + 1;\]

Ответ: точки, лежащие не выше параболы \(y = (x — 2)^2 + 1\).

Задача (a)

Неравенство: \( x^2 + y^2 — 6x — 4y + 13 \leq 0 \)

Шаг 1: Преобразуем неравенство, приводя его к стандартному виду

Начнем с того, что сгруппируем переменные \(x\) и \(y\) отдельно:

\( x^2 — 6x + y^2 — 4y + 13 \leq 0 \)

Теперь, чтобы выразить это как полный квадрат, добавим и вычтем нужные константы для \(x\) и \(y\):

• Для \(x^2 — 6x\) нам нужно добавить и вычесть \( (-\frac{6}{2})^2 = 9 \),
• Для \(y^2 — 4y\) нам нужно добавить и вычесть \( (-\frac{4}{2})^2 = 4 \).

Теперь у нас получается следующее уравнение:

\( x^2 — 6x + 9 + y^2 — 4y + 4 \leq 0 \)

Приводим к стандартному виду:

\( (x — 3)^2 + (y — 2)^2 \leq 0 \)

Шаг 2: Анализируем решение

Теперь у нас есть выражение вида \( (x — 3)^2 + (y — 2)^2 \leq 0 \). Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, наибольшие значения для \( (x — 3)^2 \) и \( (y — 2)^2 \) — это 0. Таким образом, единственным решением этого уравнения является точка, где оба квадрата равны нулю, то есть:

\( x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \)

\( y — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 2 \)

Ответ: Точка \( (3; 2) \)

Задача (б)

Неравенство: \( x^2 — 4x — y + 5 \geq 0 \)

Шаг 1: Преобразуем неравенство, выразив \( y \)

Из второго уравнения выражаем \( y \) через \( x \):

\( x^2 — 4x — y + 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad y \leq x^2 — 4x + 5 \)

Однако, проще будет добавить к обеим частям выражения дополнительные члены, чтобы упростить это неравенство:

\( x^2 — 4x + 4 — y + 1 \geq 0 \)

Мы добавили \( 4 \) и \( 1 \), чтобы привести квадратичные выражения к полным квадратам.

Теперь у нас получается следующее неравенство:

\( y \leq (x — 2)^2 + 1 \)

Шаг 2: Интерпретация неравенства

Это неравенство говорит нам о том, что значение \( y \) должно быть меньше или равно значению функции \( (x — 2)^2 + 1 \), которая представляет собой параболу, открывающуюся вверх с вершиной в точке \( (2; 1) \).

Ответ: Точки, лежащие не выше параболы \( y = (x — 2)^2 + 1 \).