ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 448 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решить систему уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
x^2 — 2y^2 = 14 \\
x^2 + 2y^2 = 18
\end{cases}
\]

Сумма уравнений:
\[
(x^2 — 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = 14 + 18
\]

\[
2x^2 = 32, \quad x^2 = 16
\]

\[
x = \pm \sqrt{16} = \pm 4
\]

Второе уравнение:
Подставим \( x = \pm 4 \):
\[
(\pm 4)^2 + 2y^2 = 18
\]

\[
16 + 2y^2 = 18
\]

\[
2y^2 = 2, \quad y^2 = 1
\]

\[
y = \pm \sqrt{1} = \pm 1
\]

Ответ: \((-4; 1)\), \((4; -1)\), \((-4; -1)\), \((4; 1)\).

б)
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 61 \\
x^2 — y^2 = 11
\end{cases}
\]

Сумма уравнений:
\[
(x^2 + y^2) + (x^2 — y^2) = 61 + 11
\]

\[
2x^2 = 72, \quad x^2 = 36
\]

\[
x = \pm \sqrt{36} = \pm 6
\]

Второе уравнение:
Подставим \( x = \pm 6 \):

\[
(\pm 6)^2 — y^2 = 11
\]

\[
36 — y^2 = 11
\]

\[
y^2 = 25, \quad y = \pm \sqrt{25} = \pm 5
\]

Ответ: \((-6; 5)\), \((6; -5)\), \((-6; -5)\), \((6; 5)\).

в)
\[
\begin{cases}
xy + x = 56 \\
xy + y = 54
\end{cases}
\]

-Разность уравнений:

\[
(xy + x) — (xy + y) = 56 — 54
\]

\[
x — y = 2, \quad y = x — 2
\]

Первое уравнение:
Подставим \( y = x — 2 \):

\[
x(x — 2) + x = 56
\]

\[
x^2 — 2x + x = 56
\]

\[
x^2 — x — 56 = 0
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 56 = 1 + 224 = 225
\]

\[
x_1 = \frac{1 — 15}{2} = -7, \quad x_2 = \frac{1 + 15}{2} = 8
\]

Найдем \( y \):

\[
y_1 = -7 — 2 = -9, \quad y_2 = 8 — 2 = 6
\]

Ответ: \((-7; -9)\), \((8; 6)\).

Задача (a)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 — 2y^2 = 14 \\
x^2 + 2y^2 = 18
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Сложим уравнения:

Сложим уравнения:

\( (x^2 — 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = 14 + 18 \)

\( 2x^2 = 32 \)

\( x^2 = 16 \)

Шаг 2: Найдем \( x \):

\( x = \pm \sqrt{16} = \pm 4 \)

Шаг 3: Подставим \( x = \pm 4 \) во второе уравнение:

Подставляем \( x = \pm 4 \) в \( x^2 + 2y^2 = 18 \):

\( 16 + 2y^2 = 18 \)

\( 2y^2 = 2 \)

\( y^2 = 1 \)

Шаг 4: Найдем \( y \):

\( y = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \)

Ответ: \( (-4; 1), (4; -1), (-4; -1), (4; 1) \)

Задача (б)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 61 \\
x^2 — y^2 = 11
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Сложим уравнения:

Сложим уравнения:

\( (x^2 + y^2) + (x^2 — y^2) = 61 + 11 \)

\( 2x^2 = 72 \)

\( x^2 = 36 \)

Шаг 2: Найдем \( x \):

\( x = \pm \sqrt{36} = \pm 6 \)

Шаг 3: Подставим \( x = \pm 6 \) во второе уравнение:

Подставляем \( x = \pm 6 \) в \( x^2 — y^2 = 11 \):

\( 36 — y^2 = 11 \)

\( y^2 = 25 \)

Шаг 4: Найдем \( y \):

\( y = \pm \sqrt{25} = \pm 5 \)

Ответ: \( (-6; 5), (6; -5), (-6; -5), (6; 5) \)

Задача (в)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
xy + x = 56 \\
xy + y = 54
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Вычтем второе уравнение из первого:

\( (xy + x) — (xy + y) = 56 — 54 \)

\( x — y = 2 \)

\( y = x — 2 \)

Шаг 2: Подставим \( y = x — 2 \) в первое уравнение:

Подставляем \( y = x — 2 \) в \( xy + x = 56 \):

\( x(x — 2) + x = 56 \)

\( x^2 — 2x + x = 56 \)

\( x^2 — x — 56 = 0 \)

Шаг 3: Решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = 1^2 + 4 \cdot 56 = 225 \)

\( x_1 = \frac{-1 — 15}{2} = -7 \)

\( x_2 = \frac{1 + 15}{2} = 8 \)

Шаг 4: Найдем \( y \):

Для \( x_1 = -7 \), \( y_1 = -7 — 2 = -9 \)

Для \( x_2 = 8 \), \( y_2 = 8 — 2 = 6 \)

Ответ: \( (-7; -9), (8; 6) \)