ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 447 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Решить систему уравнений:
а)
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 12 \\
xy = -6
\end{cases}
\]
Второе уравнение:
\[
xy = -6, \quad y = -\frac{6}{x}
\]
Первое уравнение:
Подставим \( y = -\frac{6}{x} \):
\[
x^2 + \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 12
\]
\[
x^2 + \frac{36}{x^2} = 12
\]
Умножим все на \( x^2 \) (при \( x \neq 0 \)):
\[
x^4 + 36 = 12x^2
\]
\[
x^4 — 12x^2 + 36 = 0
\]
Пусть \( z = x^2 \), тогда:
\[
z^2 — 12z + 36 = 0
\]
\[
(z — 6)^2 = 0
\]
\[
z = 6, \quad x^2 = 6
\]
\[
x = \pm \sqrt{6}
\]
Найдем \( y \):
\[
y = -\frac{6}{x} = -\frac{6}{\pm \sqrt{6}} = \mp \sqrt{6}
\]
Ответ: \((- \sqrt{6}; \sqrt{6})\), \((\sqrt{6}; -\sqrt{6})\).
б)
\[
\begin{cases}
2x^2 — y^2 = 34 \\
xy = 20
\end{cases}
\]
Второе уравнение:
\[
xy = 20, \quad y = \frac{20}{x}
\]
Первое уравнение:
Подставим \( y = \frac{20}{x} \):
\[
2x^2 — \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 34
\]
\[
2x^2 — \frac{400}{x^2} = 34
\]
Умножим все на \( x^2 \) (при \( x \neq 0 \)):
\[
2x^4 — 400 = 34x^2
\]
\[
2x^4 — 34x^2 — 400 = 0
\]
Пусть \( z = x^2 \), тогда:
\[
2z^2 — 34z — 400 = 0
\]
\[
z^2 — 17z — 200 = 0
\]
\[
D = 17^2 + 4 \cdot 200 = 289 + 800 = 1089
\]
\[
z_1 = \frac{17 — 33}{2} = -8 \quad (\text{не подходит, так как } z = x^2 \geq 0)
\]
\[
z_2 = \frac{17 + 33}{2} = 25
\]
\[
x^2 = 25, \quad x = \pm 5
\]
Найдем \( y \):
\[
y = \frac{20}{x} = \frac{20}{\pm 5} = \pm 4
\]
Ответ: \((-5; -4)\), \((5; 4)\).
Задача a)
Дана система уравнений:
\( x^2 + y^2 = 12 \)
\( xy = -6 \)
Шаг 1: Выразим \( y \) из второго уравнения
Из второго уравнения: \( xy = -6 \).
Выразим \( y \):
\( y = \frac{-6}{x} \).
Шаг 2: Подставим \( y = \frac{-6}{x} \) в первое уравнение
Первое уравнение: \( x^2 + y^2 = 12 \).
Подставим \( y = \frac{-6}{x} \):
\( x^2 + \left(\frac{-6}{x}\right)^2 = 12 \).
\( x^2 + \frac{36}{x^2} = 12 \).
Шаг 3: Приведем уравнение к стандартному виду
Умножим на \( x^2 \), чтобы избавиться от дроби:
\( x^4 — 12x^2 + 36 = 0 \).
Это квадратное уравнение относительно \( x^2 \):
\( (x^2 — 6)^2 = 0 \).
Шаг 4: Решим уравнение
\( x^2 = 6 \), следовательно:
\( x = \pm \sqrt{6} \).
Шаг 5: Найдем \( y \)
Подставим \( x = \pm \sqrt{6} \) в выражение для \( y \):
\( y = \frac{-6}{x} \).
Если \( x = \sqrt{6} \), то \( y = -\sqrt{6} \).
Если \( x = -\sqrt{6} \), то \( y = \sqrt{6} \).
Ответ:
\( (-\sqrt{6}; \sqrt{6}) \), \( (\sqrt{6}; -\sqrt{6}) \).
Задача б)
Дана система уравнений:
\( 2x^2 — y^2 = 34 \)
\( xy = 20 \)
Шаг 1: Выразим \( y \) из второго уравнения
Из второго уравнения: \( xy = 20 \).
Выразим \( y \):
\( y = \frac{20}{x} \).
Шаг 2: Подставим \( y = \frac{20}{x} \) в первое уравнение
Первое уравнение: \( 2x^2 — y^2 = 34 \).
Подставим \( y = \frac{20}{x} \):
\( 2x^2 — \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 34 \).
\( 2x^2 — \frac{400}{x^2} = 34 \).
Шаг 3: Приведем уравнение к стандартному виду
Умножим на \( x^2 \), чтобы избавиться от дроби:
\( 2x^4 — 34x^2 — 400 = 0 \).
Разделим на 2:
\( x^4 — 17x^2 — 200 = 0 \).
Это квадратное уравнение относительно \( x^2 \).
Шаг 4: Найдем дискриминант
Дискриминант \( D \) для уравнения \( t^2 — 17t — 200 = 0 \):
\( D = 17^2 + 4 \cdot 200 = 289 + 800 = 1089 \).
Тогда корни:
\( t_1 = \frac{17 — 33}{2} = -8 \) (не подходит, так как \( x^2 > 0 \)).
\( t_2 = \frac{17 + 33}{2} = 25 \).
Шаг 5: Найдем \( x \) и \( y \)
\( x^2 = 25 \), следовательно:
\( x = \pm 5 \).
Если \( x = 5 \), то \( y = \frac{20}{5} = 4 \).
Если \( x = -5 \), то \( y = \frac{20}{-5} = -4 \).
Ответ:
\( (-5; -4) \), \( (5; 4) \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.