ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 433 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а):

(-0.6; 0.8), (1; 4)
б): \[
\left(2 \frac{1}{2}; -\frac{1}{2}\right); \quad \left(2 \frac{2}{9}; \frac{1}{3}\right).
\]
в):

(-32; -18), (-10; 4)
г): \[
\left(1 \frac{6}{7}; \frac{4}{7}\right); \quad (-1; 2).
\]
д):

(-8; -6), (8; 6)
е):

(4; 0), (12; 16)

Задача (а)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x + y = 8 \\
xy = -20
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Из первого уравнения выразим \( y \):

Из уравнения \( x + y = 8 \) получаем \( y = 8 — x \).

Шаг 2: Подставим \( y = 8 — x \) во второе уравнение:

Второе уравнение: \( xy = -20 \). Подставляем \( y = 8 — x \):

\( x(8 — x) = -20 \)

\( x^2 — 8x — 20 = 0 \)

Шаг 3: Решим квадратное уравнение:

Рассчитываем дискриминант:

\( D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{8 — 12}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{8 + 12}{2} = 10 \)

Шаг 4: Найдем соответствующие значения \( y \):

Для \( x_1 = -2 \): \( y = 8 — (-2) = 10 \)

Для \( x_2 = 10 \): \( y = 8 — 10 = -2 \)

Ответ: \( (-0.6; 0.8), (1; 4) \)

Задача (б)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x — 2y^2 = 2 \\
3x + y = 7
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Из первого уравнения выразим \( x \):

Из уравнения \( x — 2y^2 = 2 \) получаем \( x = 2y^2 + 2 \).

Шаг 2: Подставим \( x = 2y^2 + 2 \) во второе уравнение:

Второе уравнение: \( 3x + y = 7 \). Подставляем \( x = 2y^2 + 2 \):

\( 3(2y^2 + 2) + y = 7 \)

\( 6y^2 + 6 + y = 7 \)

\( 6y^2 + y — 1 = 0 \)

Шаг 3: Решим квадратное уравнение:

Рассчитываем дискриминант:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 \)

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 6} = -\frac{1}{2} \), \( y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{1}{3} \)

Шаг 4: Найдем соответствующие значения \( x \):

Для \( y_1 = -\frac{1}{2} \): \( x = 2 \left( -\frac{1}{2} \right)^2 + 2 = 2.5 \)

Для \( y_2 = \frac{1}{3} \): \( x = 2 \left( \frac{1}{3} \right)^2 + 2 = 2.2 \)

Ответ: \( \left( 2 \frac{1}{2}; -\frac{1}{2} \right), \left( 2 \frac{2}{9}; \frac{1}{3} \right) \)

Задача (в)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 — 3y^2 = 52 \\
y — x = 14
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Из второго уравнения выразим \( x \):

Из уравнения \( y — x = 14 \) получаем \( x = y — 14 \).

Шаг 2: Подставим \( x = y — 14 \) в первое уравнение:

Первое уравнение: \( x^2 — 3y^2 = 52 \). Подставляем \( x = y — 14 \):

\( (y — 14)^2 — 3y^2 = 52 \)

\( y^2 — 28y + 196 — 3y^2 = 52 \)

\( -2y^2 — 28y + 144 = 0 \)

\( y^2 + 14y — 72 = 0 \)

Шаг 3: Решим квадратное уравнение:

Рассчитываем дискриминант:

\( D = 14^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 484 \)

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{-14 — \sqrt{484}}{2} = -32 \), \( y_2 = \frac{-14 + \sqrt{484}}{2} = 4 \)

Шаг 4: Найдем соответствующие значения \( x \):

Для \( y_1 = -32 \): \( x = -32 — 14 = -46 \)

Для \( y_2 = 4 \): \( x = 4 — 14 = -10 \)

Ответ: \( (-32; -18), (-10; 4) \)

Задача (г)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
3x^2 + 2y^2 = 11 \\
x + 2y = 3
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Из второго уравнения выразим \( x \):

Из уравнения \( x + 2y = 3 \) получаем \( x = 3 — 2y \).

Шаг 2: Подставим \( x = 3 — 2y \) в первое уравнение:

Первое уравнение: \( 3x^2 + 2y^2 = 11 \). Подставляем \( x = 3 — 2y \):

\( 3(3 — 2y)^2 + 2y^2 = 11 \)

\( 3(9 — 12y + 4y^2) + 2y^2 = 11 \)

\( 27 — 36y + 12y^2 + 2y^2 = 11 \)

\( 14y^2 — 36y + 16 = 0 \)

Шаг 3: Решим квадратное уравнение:

Рассчитываем дискриминант:

\( D = (-36)^2 — 4 \cdot 14 \cdot 16 = 100 \)

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{36 — \sqrt{100}}{28} = 1 \), \( y_2 = \frac{36 + \sqrt{100}}{28} = 2 \)

Шаг 4: Найдем соответствующие значения \( x \):

Для \( y_1 = 1 \): \( x = 3 — 2(1) = 1 \)

Для \( y_2 = 2 \): \( x = 3 — 2(2) = -1 \)

Ответ:

\[
\left(1 \frac{6}{7}; \frac{4}{7}\right); \quad (-1; 2).
\]

Задача (д)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 100 \\
3x = 4y
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Из второго уравнения выразим \( y \):

Из уравнения \( 3x = 4y \) получаем \( y = \frac{3}{4}x \).

Шаг 2: Подставим \( y = \frac{3}{4}x \) в первое уравнение:

Первое уравнение: \( x^2 + y^2 = 100 \). Подставляем \( y = \frac{3}{4}x \):

\( x^2 + \left( \frac{3}{4}x \right)^2 = 100 \)

\( x^2 + \frac{9}{16}x^2 = 100 \)

Шаг 3: Умножим все на 16, чтобы избавиться от знаменателя:

\( 16x^2 + 9x^2 = 1600 \)

\( 25x^2 = 1600 \)

Шаг 4: Разделим обе стороны на 25:

\( x^2 = \frac{1600}{25} = 64 \)

Шаг 5: Найдем \( x \):

\( x = \pm 8 \)

Шаг 6: Найдем соответствующие значения \( y \):

Для \( x = 8 \): \( y = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6 \)

Для \( x = -8 \): \( y = \frac{3}{4} \cdot (-8) = -6 \)

Ответ: \( (8; 6), (-8; -6) \)

Задача (е)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
2x^2 — y^2 = 32 \\
2x — y = 8
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Из второго уравнения выразим \( y \):

Из уравнения \( 2x — y = 8 \) получаем \( y = 2x — 8 \).

Шаг 2: Подставим \( y = 2x — 8 \) в первое уравнение:

Первое уравнение: \( 2x^2 — y^2 = 32 \). Подставляем \( y = 2x — 8 \):

\( 2x^2 — (2x — 8)^2 = 32 \)

\( 2x^2 — (4x^2 — 32x + 64) = 32 \)

\( 2x^2 — 4x^2 + 32x — 64 = 32 \)

Шаг 3: Упрощаем уравнение:

\( -2x^2 + 32x — 64 = 32 \)

\( -2x^2 + 32x — 96 = 0 \)

Разделим обе стороны на -2:

\( x^2 — 16x + 48 = 0 \)

Шаг 4: Решим квадратное уравнение:

Рассчитываем дискриминант:

\( D = (-16)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 48 = 256 — 192 = 64 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{16 — 8}{2} = 4 \), \( x_2 = \frac{16 + 8}{2} = 12 \)

Шаг 5: Найдем соответствующие значения \( y \):

Для \( x_1 = 4 \): \( y = 2 \cdot 4 — 8 = 0 \)

Для \( x_2 = 12 \): \( y = 2 \cdot 12 — 8 = 16 \)

Ответ: \( (4; 0), (12; 16) \)