ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 430 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решить систему уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
y^2 — x = -1 \\
x = y + 3
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
y^2 — x = -1
\]
Подставим \( x = y + 3 \):

\[
y^2 — (y + 3) = -1
\]

\[
y^2 — y — 3 = -1
\]

\[
y^2 — y — 2 = 0
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9
\]

\[
y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2
\]

Найдем \( x \):

\[
x_1 = -1 + 3 = 2, \quad x_2 = 2 + 3 = 5
\]

Ответ: \((2; -1)\), \((5; 2)\).

б)
\[
\begin{cases}
y = x — 1 \\
x^2 — 2y = 26
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
x^2 — 2(x — 1) = 26
\]

\[
x^2 — 2x + 2 = 26
\]

\[
x^2 — 2x — 24 = 0
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100
\]

\[
x_1 = \frac{2 — 10}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6
\]

Найдем \( y \):

\[
y_1 = -4 — 1 = -5, \quad y_2 = 6 — 1 = 5
\]

Ответ: \((-4; -5)\), \((6; 5)\).

в)
\[
\begin{cases}
xy + x = -4 \\
x — y = 6
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
xy + x = -4
\]

Подставим \( y = x — 6 \):

\[
x(x — 6) + x = -4
\]

\[
x^2 — 6x + x = -4
\]

\[
x^2 — 5x + 4 = 0
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9
\]

\[
x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4
\]

Найдем \( y \):

\[
y_1 = 1 — 6 = -5, \quad y_2 = 4 — 6 = -2
\]

Ответ: \((1; -5)\), \((4; -2)\).

г)
\[
\begin{cases}
x + y = 9 \\
y^2 + x = 29
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
x + y = 9 \quad \Rightarrow \quad x = 9 — y
\]

Второе уравнение:
\[
y^2 + x = 29
\]

Подставим \( x = 9 — y \):

\[
y^2 + (9 — y) = 29
\]

\[
y^2 — y + 9 = 29
\]

\[
y^2 — y — 20 = 0
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81
\]

\[
y_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4, \quad y_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5
\]

Найдем \( x \):

\[
x_1 = 9 + 4 = 13, \quad x_2 = 9 — 5 = 4
\]

Ответ: \((13; -4)\), \((4; 5)\).

Задача а)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
y^2 — x = -1 \\
x = y + 3
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Подставим \(x = y + 3\) в первое уравнение:

Первое уравнение: \( y^2 — x = -1 \)

Подставляем \(x = y + 3\):

\( y^2 — (y + 3) = -1 \)

\( y^2 — y — 3 = -1 \)

\( y^2 — y — 2 = 0 \)

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение:

Используем дискриминант для уравнения \( y^2 — y — 2 = 0 \):

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2} = \frac{1 — 3}{2} = -1 \)

\( y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)

Шаг 3: Найдем соответствующие значения \( x \):

Для \( y_1 = -1 \): \( x = -1 + 3 = 2 \)

Для \( y_2 = 2 \): \( x = 2 + 3 = 5 \)

Ответ: \( (2; -1) \), \( (5; 2) \)

Задача б)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
y = x — 1 \\
x^2 — 2y = 26
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Подставим \( y = x — 1 \) во второе уравнение:

Второе уравнение: \( x^2 — 2y = 26 \)

Подставляем \( y = x — 1 \):

\( x^2 — 2(x — 1) = 26 \)

\( x^2 — 2x + 2 = 26 \)

\( x^2 — 2x — 24 = 0 \)

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение:

Используем дискриминант для уравнения \( x^2 — 2x — 24 = 0 \):

\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{2 — 10}{2} = -4 \), \( x_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6 \)

Шаг 3: Найдем соответствующие значения \( y \):

Для \( x_1 = -4 \): \( y = -4 — 1 = -5 \)

Для \( x_2 = 6 \): \( y = 6 — 1 = 5 \)

Ответ: \( (-4; -5) \), \( (6; 5) \)

Задача в)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
xy + x = -4 \\
x — y = 6
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Подставим \( y = x — 6 \) во первое уравнение:

Первое уравнение: \( xy + x = -4 \)

Подставляем \( y = x — 6 \):

\( x(x — 6) + x = -4 \)

\( x^2 — 6x + x = -4 \)

\( x^2 — 5x + 4 = 0 \)

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение:

Используем дискриминант для уравнения \( x^2 — 5x + 4 = 0 \):

\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \)

Шаг 3: Найдем соответствующие значения \( y \):

Для \( x_1 = 1 \): \( y = 1 — 6 = -5 \)

Для \( x_2 = 4 \): \( y = 4 — 6 = -2 \)

Ответ: \( (1; -5) \), \( (4; -2) \)

Задача г)

Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x + y = 9 \\
y^2 + x = 29
\end{cases}
\]

Решение:

Шаг 1: Выразим \( x \) из первого уравнения:

\( x + y = 9 \Rightarrow x = 9 — y \)

Шаг 2: Подставим \( x = 9 — y \) во второе уравнение:

\( y^2 + x = 29 \)

Подставляем \( x = 9 — y \):

\( y^2 + (9 — y) = 29 \)

\( y^2 — y + 9 = 29 \)

\( y^2 — y — 20 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

Используем дискриминант для уравнения \( y^2 — y — 20 = 0 \):

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 \)

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4 \), \( y_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5 \)

Шаг 4: Найдем соответствующие значения \( x \):

Для \( y_1 = -4 \): \( x = 9 — (-4) = 13 \)

Для \( y_2 = 5 \): \( x = 9 — 5 = 4 \)

Ответ: \( (13; -4) \), \( (4; 5) \)