ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 385 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решить систему неравенств:

а)
\[
\begin{cases}
x^2 + x — 6 < 0 \\
-x^2 + 2x + 3 > 0
\end{cases}
\]

Первое неравенство:
\[
x^2 + x — 6 < 0
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25
\]

\[
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2
\]

\[
(x + 3)(x — 2) < 0, \quad -3 < x < 2
\]

Второе неравенство:
\[
-x^2 + 2x + 3 > 0
\]

\[
x^2 — 2x — 3 < 0
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16
\]

\[
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3
\]

\[
(x + 1)(x — 3) < 0, \quad -1 < x < 3
\]

Ответ:
\[
(-1; 2)
\]

б)
\[
\begin{cases}
x^2 + 4x — 5 > 0 \\
x^2 — 2x — 8 < 0
\end{cases}
\]

Первое неравенство:
\[
x^2 + 4x — 5 > 0
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36
\]

\[
x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1
\]

\[
(x + 5)(x — 1) > 0, \quad x < -5 \quad \text{или} \quad x > 1
\]

Второе неравенство:
\[
x^2 — 2x — 8 < 0
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36
\]

\[
x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4
\]

\[
(x + 2)(x — 4) < 0, \quad -2 < x < 4
\]

Ответ:
\[
(1; 4)
\]

Задача а)

Система неравенств:

\[
\begin{cases}
x^2 + x — 6 < 0 \\ -x^2 + 2x + 3 > 0
\end{cases}
\]

Решение:

Первое неравенство:

\( x^2 + x — 6 < 0 \)

Находим дискриминант:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \)

Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \)

Таким образом, факторизуем выражение:

\( (x + 3)(x — 2) < 0 \)

Решение: \( -3 < x < 2 \)

Второе неравенство:

\( -x^2 + 2x + 3 > 0 \)

Перепишем его как \( x^2 — 2x — 3 < 0 \)

Находим дискриминант:

\( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)

Таким образом, факторизуем выражение:

\( (x + 1)(x — 3) < 0 \)

Решение: \( -1 < x < 3 \)

Ответ: Пересекаем интервалы \( (-3 < x < 2) \) и \( (-1 < x < 3) \), получаем \( (-1; 2) \)

Задача б)

Система неравенств:

\[
\begin{cases}
x^2 + 4x — 5 > 0 \\
x^2 — 2x — 8 < 0
\end{cases}
\]

Решение:

Первое неравенство:

\( x^2 + 4x — 5 > 0 \)

Находим дискриминант:

\( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \)

Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \)

Таким образом, факторизуем выражение:

\( (x + 5)(x — 1) > 0 \)

Решение: \( x < -5 \quad \text{или} \quad x > 1 \)

Второе неравенство:

\( x^2 — 2x — 8 < 0 \)

Находим дискриминант:

\( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)

Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \)

Таким образом, факторизуем выражение:

\( (x + 2)(x — 4) < 0 \)

Решение: \( -2 < x < 4 \)

Ответ: Пересекаем интервалы \( (x < -5 \quad \text{или} \quad x > 1) \) и \( (-2 < x < 4) \), получаем \( (1; 4) \)