ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 371 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение, используя подстановку \( y = x^2 \):

а) \( \frac{x^4}{x^2 — 2} + \frac{1 — 4x^2}{2 — x^2} + 4 = 0 \);

б) \( \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} + \frac{2}{x^2 — 4} + \frac{10}{x^4 — 3x^2 — 4} = 0 \).

a)

\[
\frac{x^4}{x^2 — 2} + \frac{1 — 4x^2}{2 — x^2} + 4 = 0;
\]

Пусть \( y = x^2 \), тогда:

\[
\frac{y^2}{y — 2} + \frac{1 — 4y}{2 — y} + 4 = 0;
\]

\[
\frac{y^2 — (1 — 4y)}{y — 2} + 4(y — 2) = 0;
\]

\[
\frac{y^2 — 1 + 4y + 4y — 8}{y — 2} = 0;
\]

\[
\frac{y^2 + 8y — 9}{y — 2} = 0;
\]

Дискриминант:

\[
D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100, \text{ тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{-8 — 10}{2} = -9, \, y_2 = \frac{-8 + 10}{2} = 1;
\]

\[
x_1 \notin \mathbb{R}, \, x_2 = \pm \sqrt{1} = \pm 1;
\]

Ответ: \(-1; 1\).
б)

\[
\frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} + \frac{2}{x^2 — 4} + \frac{10}{x^4 — 3x^2 — 4} = 0;
\]

Пусть \( y = x^2 \), тогда:

\[
\frac{y + 3}{y + 1} + \frac{2}{y — 4} + \frac{10}{y^2 — 3y — 4} = 0;
\]

\[
\frac{y + 3}{y + 1} + \frac{2}{y — 4} + \frac{10}{(y + 1)(y — 4)} = 0;
\]

\[
\frac{(y + 3)(y — 4) + 2(y + 1) + 10}{(y + 1)(y — 4)} = 0;
\]

\[
y^2 — y — 12 + 2y + 2 + 10 = 0;
\]

\[
y^2 + y = 0, \, y(y + 1) = 0;
\]

\[
y_1 = -1, \, y_2 = 0;
\]

\[
x_1 \notin \mathbb{R}, \, x_2 = 0;
\]

Ответ: \( 0 \).

Задача а)

Уравнение:

\( \frac{x^4}{x^2 — 2} + \frac{1 — 4x^2}{2 — x^2} + 4 = 0 \)

Решение:

Шаг 1: Замена переменной:

Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:

\( \frac{y^2}{y — 2} + \frac{1 — 4y}{2 — y} + 4 = 0 \)

Шаг 2: Упрощаем дроби:

Приведем оба дробных выражения к общему знаменателю. Заметим, что \( 2 — y = -(y — 2) \), поэтому вторую дробь можно переписать как:

\( \frac{y^2}{y — 2} — \frac{1 — 4y}{y — 2} + 4 = 0 \)

Шаг 3: Объединяем дроби с общим знаменателем:

\( \frac{y^2 — (1 — 4y)}{y — 2} + 4(y — 2) = 0 \)

Шаг 4: Упростим числитель:

\( \frac{y^2 — 1 + 4y + 4y — 8}{y — 2} = 0 \)

\( \frac{y^2 + 8y — 9}{y — 2} = 0 \)

Шаг 5: Приравниваем числитель к нулю:

Решаем уравнение \( y^2 + 8y — 9 = 0 \) методом дискриминанта:

Дискриминант:

\( D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \)

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{-8 — 10}{2} = -9, \quad y_2 = \frac{-8 + 10}{2} = 1 \)

Шаг 6: Находим значения \(x\):

Для \( y_1 = -9 \), \( x = \pm \sqrt{-9} \), но это не имеет вещественных корней.

Для \( y_2 = 1 \), \( x = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \).

Ответ: \( x_1 \notin \mathbb{R}, \, x_2 = \pm 1 \).

Задача б)

Уравнение:

\( \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} + \frac{2}{x^2 — 4} + \frac{10}{x^4 — 3x^2 — 4} = 0 \)

Решение:

Шаг 1: Замена переменной:

Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:

\( \frac{y + 3}{y + 1} + \frac{2}{y — 4} + \frac{10}{y^2 — 3y — 4} = 0 \)

Шаг 2: Разложим знаменатели:

\( y^2 — 3y — 4 = (y + 1)(y — 4) \)

Теперь перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

\( \frac{y + 3}{y + 1} + \frac{2}{y — 4} + \frac{10}{(y + 1)(y — 4)} = 0 \)

Шаг 3: Приведем все дроби к общему знаменателю \((y + 1)(y — 4)\):

\( \frac{(y + 3)(y — 4) + 2(y + 1) + 10}{(y + 1)(y — 4)} = 0 \)

Шаг 4: Упростим числитель:

\( (y + 3)(y — 4) + 2(y + 1) + 10 \)

Раскроем скобки:

\( (y^2 — 4y + 3y — 12) + 2y + 2 + 10 \)

\( y^2 — y — 12 + 2y + 2 + 10 = y^2 + y — 12 \)

Шаг 5: Приравняем числитель к нулю:

\( y^2 + y = 0 \)

\( y(y + 1) = 0 \)

Корни уравнения:

\( y_1 = -1, \, y_2 = 0 \)

Шаг 6: Находим значения \(x\):

Для \( y_1 = -1 \), \( x = \pm \sqrt{-1} \), но это не имеет вещественных корней.

Для \( y_2 = 0 \), \( x = 0 \).

Ответ: \( x_1 \notin \mathbb{R}, \, x_2 = 0 \).