ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 370 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

\(x^2 + \frac{1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = 2 \frac{1}{2}\)

Пусть \(t = \frac{x^2 + 1}{x}\), тогда уравнение преобразуется:

\(t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}\)

Умножаем на \(2t\), чтобы избавиться от дробей:

\(2t^2 — 5t + 2 = 0\)

Рассчитаем дискриминант:

\(D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9\)

Тогда корни:

\(t_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}, \, t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2\)

Первое значение (\(t_1 = \frac{1}{2}\)):

\(x^2 + \frac{1}{x} = \frac{1}{2}\), преобразуем:

\(2(x^2 + 1) = x\)

\(2x^2 + 2 = x, \, 2x^2 — x + 2 = 0\)

Рассчитаем дискриминант:

\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = -15\)

Дискриминант отрицательный, корней нет.

Второе значение (\(t_2 = 2\)):

\(x^2 + \frac{1}{x} = 2\), преобразуем:

\(x^2 + 1 = 2x\)

\(x^2 — 2x + 1 = 0\)

\((x — 1)^2 = 0\), тогда:

\(x = 1\)

Ответ: \(x = 1\).

Задача (b)

\(\frac{x^2 + 2}{3x — 2} + \frac{3x — 2}{x^2 + 2} = 2 \frac{1}{6}\)

Пусть \(t = \frac{x^2 + 2}{3x — 2}\), тогда уравнение преобразуется:

\(t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6}\)

Умножаем на \(6t\), чтобы избавиться от дробей:

\(6t^2 — 13t + 6 = 0\)

Рассчитаем дискриминант:

\(D = 13^2 — 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 — 144 = 25\)

Тогда корни:

\(t_1 = \frac{13 — 5}{2 \cdot 6} = \frac{2}{3}, \, t_2 = \frac{13 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{3}{2}\)

Первое значение (\(t_1 = \frac{2}{3}\)):

\(\frac{x^2 + 2}{3x — 2} = \frac{2}{3}\), преобразуем:

\(3(x^2 + 2) = 2(3x — 2)\)

\(3x^2 + 6 = 6x — 4\)

\(3x^2 — 6x + 10 = 0\)

Рассчитаем дискриминант:

\(D = (-6)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 10 = -84\)

Дискриминант отрицательный, корней нет.

Второе значение (\(t_2 = \frac{3}{2}\)):

\(\frac{x^2 + 2}{3x — 2} = \frac{3}{2}\), преобразуем:

\(2(x^2 + 2) = 3(3x — 2)\)

\(2x^2 + 4 = 9x — 6\)

\(2x^2 — 9x + 10 = 0\)

Рассчитаем дискриминант:

\(D = (-9)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 10 = 1\)

Тогда корни:

\(x_1 = \frac{9 — 1}{2 \cdot 2} = 2, \, x_2 = \frac{9 + 1}{2 \cdot 2} = 2.5\)

Ответ: \(x = 2; \, 2.5\).