ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 367 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

а) \( \frac{1}{x^2 — 6x + 8} — \frac{1}{x — 2} + \frac{10}{x^2 — 4} = 0; \)

б) \( \frac{3}{x^2 — x — 6} + \frac{3}{x + 2} = \frac{7}{x^2 — 9}. \)

Задача а)
Уравнение:
\[
\frac{1}{x^2 — 6x + 8} — \frac{1}{x — 2} + \frac{10}{x^2 — 4} = 0
\]

Решение:
1. Разложим знаменатели на множители:
\[
x^2 — 6x + 8 = (x — 2)(x — 4)
\]

\[
x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2)
\]

2. Перепишем уравнение:
\[
\frac{1}{(x — 2)(x — 4)} — \frac{1}{x — 2} + \frac{10}{(x — 2)(x + 2)} = 0
\]

3. Приведем к общему знаменателю \((x — 2)(x — 4)(x + 2)\):
\[
\frac{(x + 2) — (x — 4)(x + 2) + 10(x — 4)}{(x — 2)(x — 4)(x + 2)} = 0
\]

4. Упростим числитель:
\[
(x + 2) — (x^2 — 2x — 8) + 10(x — 4) = 0
\]

\[
x + 2 — x^2 + 2x + 8 + 10x — 40 = 0
\]

\[
-x^2 + 13x — 30 = 0
\]

\[
x^2 — 13x + 30 = 0
\]

5. Решаем квадратное уравнение \(x^2 — 13x + 30 = 0\) методом дискриминанта:
\[
D = b^2 — 4ac = (-13)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 30 = 169 — 120 = 49
\]

\[
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 — 7}{2} = 3
\]

\[
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 7}{2} = 10
\]

6. Область определения
\[
x — 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 2
\]

\[
x — 4 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 4
\]

\[
x + 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -2
\]

7. Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = 10\).

Задача б)
Уравнение:
\[
\frac{3}{x^2 — x — 6} + \frac{3}{x + 2} = \frac{7}{x^2 — 9}
\]

Решение:
1. Разложим знаменатели на множители:
\[
x^2 — x — 6 = (x — 3)(x + 2)
\]

\[
x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3)
\]

2. Перепишем уравнение:
\[
\frac{3}{(x — 3)(x + 2)} + \frac{3}{x + 2} = \frac{7}{(x — 3)(x + 3)}
\]

3. Приведем к общему знаменателю \((x — 3)(x + 2)(x + 3)\):
\[
\frac{3(x + 3) + 3(x — 3)(x + 3)}{(x — 3)(x + 2)(x + 3)} = \frac{7(x + 2)}{(x — 3)(x + 2)(x + 3)}
\]

4. Упростим числитель левой части:
\[
3(x + 3) + 3(x — 3)(x + 3) = 3x + 9 + 3(x^2 — 9) =\]

\[3x + 9 + 3x^2 — 27 = 3x^2 + 3x — 18
\]

5. Приравняем числители:
\[
3x^2 + 3x — 18 = 7(x + 2)
\]

\[
3x^2 + 3x — 18 = 7x + 14
\]

\[
3x^2 + 3x — 18 — 7x — 14 = 0
\]

\[
3x^2 — 4x — 32 = 0
\]

6. Решаем квадратное уравнение \(3x^2 — 4x — 32 = 0\) методом дискриминанта:
\[
D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 16 + 384 = 400
\]

\[
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 — 20}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}
\]

\[
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4
\]

7. Область определения
\[
x + 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -2
\]

\[
x — 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 3
\]

\[
x + 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -3
\]

8. Ответ: \(x_1 = -2 \frac{2}{3}\), \(x_2 = 4\).

Задача а)

Уравнение:

\( \frac{1}{x^2 — 6x + 8} — \frac{1}{x — 2} + \frac{10}{x^2 — 4} = 0 \)

Решение:

Шаг 1: Разложим знаменатели на множители:

\( x^2 — 6x + 8 = (x — 2)(x — 4) \)

\( x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2) \)

Шаг 2: Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

\( \frac{1}{(x — 2)(x — 4)} — \frac{1}{x — 2} + \frac{10}{(x — 2)(x + 2)} = 0 \)

Шаг 3: Приведем все дроби к общему знаменателю \((x — 2)(x — 4)(x + 2)\):

\( \frac{(x + 2) — (x — 4)(x + 2) + 10(x — 4)}{(x — 2)(x — 4)(x + 2)} = 0 \)

Шаг 4: Упростим числитель:

\( (x + 2) — (x^2 — 2x — 8) + 10(x — 4) = 0 \)

\( x + 2 — x^2 + 2x + 8 + 10x — 40 = 0 \)

\( -x^2 + 13x — 30 = 0 \)

\( x^2 — 13x + 30 = 0 \)

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант:

\( D = b^2 — 4ac = (-13)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 30 = 169 — 120 = 49 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 — 7}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 7}{2} = 10 \)

Шаг 6: Область определения:

\( x — 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 2 \)

\( x — 4 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 4 \)

\( x + 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -2 \)

Ответ: \( x_1 = 3 \), \( x_2 = 10 \)

Задача б)

Уравнение:

\( \frac{3}{x^2 — x — 6} + \frac{3}{x + 2} = \frac{7}{x^2 — 9} \)

Решение:

Шаг 1: Разложим знаменатели на множители:

\( x^2 — x — 6 = (x — 3)(x + 2) \)

\( x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3) \)

Шаг 2: Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

\( \frac{3}{(x — 3)(x + 2)} + \frac{3}{x + 2} = \frac{7}{(x — 3)(x + 3)} \)

Шаг 3: Приведем все дроби к общему знаменателю \((x — 3)(x + 2)(x + 3)\):

\( \frac{3(x + 3) + 3(x — 3)(x + 3)}{(x — 3)(x + 2)(x + 3)} = \frac{7(x + 2)}{(x — 3)(x + 2)(x + 3)} \)

Шаг 4: Упростим числитель левой части:

\( 3(x + 3) + 3(x — 3)(x + 3) = 3x + 9 + 3(x^2 — 9) =\)

\(3x + 9 + 3x^2 — 27 = 3x^2 + 3x — 18 \)

Шаг 5: Приравняем числители:

\( 3x^2 + 3x — 18 = 7(x + 2) \)

\( 3x^2 + 3x — 18 = 7x + 14 \)

\( 3x^2 + 3x — 18 — 7x — 14 = 0 \)

\( 3x^2 — 4x — 32 = 0 \)

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант:

\( D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 16 + 384 = 400 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 — 20}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} \)

\( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4 \)

Шаг 7: Область определения:

\( x + 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -2 \)

\( x — 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 3 \)

\( x + 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -3 \)

Ответ: \(x_1 = -2 \frac{2}{3}\), \(x_2 = 4\).