ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 363 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а: \(N = (x+4)(x+2)(x-2)(x-4)\)
б: \(N = (x+4)(x+1)(x-1)(x-4)\)
в: \(N = (x^2+4)(x+3)(x-3)\)
г: \(N = (x^2+1)(x+2)(x-2)\)
д: \(N = (x+1)(3x+1)(3x-1)(x-1)\)
е: \(N = (x+2)(2x+1)(2x-1)(x-2)\)

Задача а: \[\quad N = x^4 — 20x^2 + 64\]

Решение

1. Мы видим, что выражение содержит \( x^4 \) и \( x^2 \), что является типичным для решения через замену переменной.

Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:
\[
N = y^2 — 20y + 64
\]

2. Для нахождения корней уравнения \( y^2 — 20y + 64 = 0 \), используем дискриминант:
\[
D = (-20)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 — 256 = 144
\]

Так как дискриминант положительный, у уравнения два корня.

3. Находим корни уравнения:
\[
y_1 = \frac{20 — \sqrt{144}}{2} = \frac{20 — 12}{2} = 4
\]

\[
y_2 = \frac{20 + \sqrt{144}}{2} = \frac{20 + 12}{2} = 16
\]

4. Заменяем обратно \( y \) на \( x^2 \), получаем два уравнения:
\[
x^2 = 4 \quad \text{и} \quad x^2 = 16
\]

5. Решаем эти уравнения:
\[
x = \pm 2 \quad \text{и} \quad x = \pm 4
\]

6. Разложим исходное уравнение на множители:
\[
N = (x^2 — 4)(x^2 — 16)
\]

7. Далее разлагаем каждое из множителей:
\[
x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2) \quad \text{и} \quad x^2 — 16 = (x — 4)(x + 4)
\]

8. Итоговая факторизация:
\[
N = (x — 2)(x + 2)(x — 4)(x + 4)
\]

Задача б: \[\quad N = x^4 — 17x^2 + 16\]

Решение

1. Аналогично первой задаче, сделаем замену переменной \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:
\[
N = y^2 — 17y + 16
\]

2. Найдем дискриминант:
\[
D = (-17)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 — 64 = 225
\]

3. Находим корни уравнения:
\[
y_1 = \frac{17 — \sqrt{225}}{2} = \frac{17 — 15}{2} = 1
\]

\[
y_2 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2} = \frac{17 + 15}{2} = 16
\]

4. Заменяем обратно \( y \) на \( x^2 \), получаем два уравнения:
\[
x^2 = 1 \quad \text{и} \quad x^2 = 16
\]

5. Решаем эти уравнения:
\[
x = \pm 1 \quad \text{и} \quad x = \pm 4
\]

6. Разложим исходное уравнение на множители:
\[
N = (x^2 — 1)(x^2 — 16)
\]

7. Далее разлагаем каждое из множителей:
\[
x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1) \quad \text{и} \quad x^2 — 16 = (x — 4)(x + 4)
\]

8. Итоговая факторизация:
\[
N = (x — 1)(x + 1)(x — 4)(x + 4)
\]

Задача в: \[\quad N = x^4 — 5x^2 — 36\]

Решение:

1. Сделаем замену переменной \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:
\[
N = y^2 — 5y — 36
\]

2. Найдем дискриминант:
\[
D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169
\]

3. Находим корни уравнения:
\[
y_1 = \frac{5 — \sqrt{169}}{2} = \frac{5 — 13}{2} = -4
\]

\[
y_2 = \frac{5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{5 + 13}{2} = 9
\]

4. Заменяем обратно \( y \) на \( x^2 \), получаем два уравнения:
\[
x^2 = -4 \quad \text{и} \quad x^2 = 9
\]

Так как \( x^2 = -4 \) не имеет вещественных решений, решаем только \( x^2 = 9 \):
\[
x = \pm 3
\]

5. Разложим исходное уравнение на множители:
\[
N = (x^2 + 4)(x^2 — 9)
\]

6. Далее разлагаем \( x^2 — 9 \):
\[
x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3)
\]

7. Итоговая факторизация:
\[
N = (x^2 + 1)(x — 2)(x + 2)
\]

Задача г: \[\quad N = x^4 — 3x^2 — 4\]

Решение:

1. Сделаем замену переменной \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:
\[
N = y^2 — 3y — 4
\]

2. Найдем дискриминант:
\[
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25
\]

3. Находим корни уравнения:
\[
y_1 = \frac{3 — \sqrt{25}}{2} = \frac{3 — 5}{2} = -1
\]

\[
y_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4
\]

4. Заменяем обратно \( y \) на \( x^2 \), получаем два уравнения:
\[
x^2 = -1 \quad \text{и} \quad x^2 = 4
\]

Так как \( x^2 = -1 \) не имеет вещественных решений, решаем только \( x^2 = 4 \):
\[
x = \pm 2
\]

5. Разложим исходное уравнение на множители:
\[
N = (x^2 + 1)(x^2 — 4)
\]

6. Далее разлагаем \( x^2 — 4 \):
\[
x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2)
\]

7. Итоговая факторизация:
\[
N = (x^2 + 1)(x — 2)(x + 2)
\]

Задача д: \[\quad N = 9x^4 — 10x^2 + 1\]

Решение:

1. Сделаем замену переменной \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:
\[
N = 9y^2 — 10y + 1
\]

2. Найдем дискриминант:
\[
D = (-10)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 — 36 = 64
\]

3. Находим корни уравнения:
\[
y_1 = \frac{10 — \sqrt{64}}{2 \cdot 9} = \frac{10 — 8}{18} = \frac{1}{9}
\]

\[
y_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 9} = \frac{10 + 8}{18} = 1
\]

4. Заменяем обратно \( y \) на \( x^2 \), получаем два уравнения:
\[
x^2 = \frac{1}{9} \quad \text{и} \quad x^2 = 1
\]

5. Решаем эти уравнения:
\[
x = \pm \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x = \pm 1
\]

6. Разложим исходное уравнение на множители:
\[
N = 9 \left( x^2 — \frac{1}{9} \right)(x^2 — 1)
\]

7. Далее разлагаем \( x^2 — \frac{1}{9} \) и \( x^2 — 1 \):
\[
x^2 — \frac{1}{9} = \left( x — \frac{1}{3} \right)\left( x + \frac{1}{3} \right)
\]

\[
x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)
\]

8. Итоговая факторизация:
\[
N = (x + 1)(x — 1)(3x + 1)(3x — 1)
\]

Задача е: \[\quad N = 4x^4 — 17x^2 + 4\]

Решение:

1. Сделаем замену переменной \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:
\[
N = 4y^2 — 17y + 4
\]

2. Найдем дискриминант:
\[
D = (-17)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225
\]

3. Находим корни уравнения:
\[
y_1 = \frac{17 — \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 — 15}{8} = \frac{1}{4}
\]

\[
y_2 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 15}{8} = 4
\]

4. Заменяем обратно \( y \) на \( x^2 \), получаем два уравнения:
\[
x^2 = \frac{1}{4} \quad \text{и} \quad x^2 = 4
\]

5. Решаем эти уравнения:
\[
x = \pm \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x = \pm 2
\]

6. Разложим исходное уравнение на множители:
\[
N = 4 \left( x^2 — \frac{1}{4} \right)(x^2 — 4)
\]

7. Далее разлагаем \( x^2 — \frac{1}{4} \) и \( x^2 — 4 \):
\[
x^2 — \frac{1}{4} = \left( x — \frac{1}{2} \right)\left( x + \frac{1}{2} \right)
\]

\[
x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2)
\]

8. Итоговая факторизация:
\[
N = (x + 2)(x — 2)(2x + 1)(2x — 1)
\]