ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 358 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Пример а
Ответ: \(-3 — \sqrt{17}; -3 — \sqrt{6}; \sqrt{6} — 3; \sqrt{17} — 3\).

Пример б

Ответ: \( 1 — \sqrt{5}; -2; 1 + \sqrt{5}; 4 \).

Пример в
Ответ: Корней нет.

Пример г
Ответ: \(-4; 0\).

Пример д
Ответ: \(-1 — \sqrt{2}; -1 + \sqrt{2}\).

Пример е
Ответ: \(-4; 5\).

Пример ж
Ответ: \(-4.5; 1; -\frac{7 — \sqrt{65}}{4}; -\frac{7 + \sqrt{65}}{4}\).

Пример а

Дано уравнение:

(x² + 6x)² — 5(x² + 6x) = 24

Пусть y = x² + 6x, тогда уравнение примет вид:

y² — 5y — 24 = 0

Шаг 1: Находим дискриминант уравнения

Дискриминант уравнения вида y² — 5y — 24 = 0 вычисляется по формуле:

D = b² — 4ac

где a = 1, b = -5, c = -24.

Дискриминант: D = (-5)² — 4 × 1 × (-24) = 25 + 96 = 121

Шаг 2: Находим корни уравнения

Корни уравнения находим по формуле:

y₁,₂ = (-b ± √D) / 2a

Корни: y₁ = (-(-5) + √121) / 2 = (5 + 11) / 2 = 8

y₂ = (-(-5) — √121) / 2 = (5 — 11) / 2 = -3

Шаг 3: Проверка для первого значения

Первое значение: x² + 6x = -3

Подставим в уравнение:

x² + 6x + 3 = 0

Для этого уравнения находим дискриминант:

Дискриминант: D = 6² — 4 × 1 × 3 = 36 — 12 = 24

Корни:

x = -3 ± √6

Шаг 4: Проверка для второго значения

Второе значение: x² + 6x = 8

Подставим в уравнение:

x² + 6x — 8 = 0

Для этого уравнения находим дискриминант:

Дискриминант: D = 6² — 4 × 1 × (-8) = 36 + 32 = 68

Корни:

x = -3 ± √17

Ответ: x = -3 — √17; -3 — √6; √6 — 3; √17 — 3.

Пример б

Дано уравнение:

(x² — 2x — 5)² — 2(x² — 2x — 5) = 3

Пусть y = x² — 2x — 5, тогда уравнение примет вид:

y² — 2y — 3 = 0

Шаг 1: Находим дискриминант уравнения

Дискриминант уравнения y² — 2y — 3 = 0 вычисляется по формуле:

D = b² — 4ac

где a = 1, b = -2, c = -3.

Дискриминант: D = (-2)² — 4 × 1 × (-3) = 4 + 12 = 16

Шаг 2: Находим корни уравнения

Корни: y₁ = (-(-2) + √16) / 2 = (2 + 4) / 2 = 3

y₂ = (-(-2) — √16) / 2 = (2 — 4) / 2 = -1

Шаг 3: Проверка для первого значения

Первое значение: x² — 2x — 5 = -1

Подставим в уравнение:

x² — 2x + 4 = 0

Для этого уравнения находим дискриминант:

Дискриминант: D = (-2)² — 4 × 1 × 4 = 4 — 16 = -12

Так как дискриминант отрицателен, корней нет.

Шаг 4: Проверка для второго значения

Второе значение: x² — 2x — 5 = 3

Подставим в уравнение:

x² — 2x — 8 = 0

Для этого уравнения находим дискриминант:

Дискриминант: D = (-2)² — 4 × 1 × (-8) = 4 + 32 = 36

Корни:

x = -2 ± √36 = -2 ± 6

Таким образом, корни: x = -2 — 6 = -8 и x = -2 + 6 = 4

Ответ: 1 — √5; -2; 1 + √5; 4.

Пример в

Дано уравнение:

(x² + 3x — 25)² — 2(x² + 3x — 25) = -7

Пусть y = x² + 3x — 25, тогда уравнение примет вид:

y² — 2y + 7 = 0

Шаг 1: Находим дискриминант уравнения

Дискриминант уравнения y² — 2y + 7 = 0 вычисляется по формуле:

D = b² — 4ac

где a = 1, b = -2, c = 7.

Дискриминант: D = (-2)² — 4 × 1 × 7 = 4 — 28 = -24

Так как дискриминант отрицателен, корней нет.

Ответ: корней нет.

Пример г

Дано уравнение:

(y + 2)⁴ — (y + 2)² = 12

Пусть z = (y + 2)², тогда уравнение примет вид:

z² — z — 12 = 0

Шаг 1: Находим дискриминант уравнения

Дискриминант уравнения z² — z — 12 = 0 вычисляется по формуле:

D = b² — 4ac

где a = 1, b = -1, c = -12.

Дискриминант: D = (-1)² — 4 × 1 × (-12) = 1 + 48 = 49

Шаг 2: Находим корни уравнения

Корни: z₁ = (-(-1) + √49) / 2 = (1 + 7) / 2 = 4

z₂ = (-(-1) — √49) / 2 = (1 — 7) / 2 = -3

Шаг 3: Проверка для первого значения

Первое значение: (y + 2)² = -3

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, корней нет.

Шаг 4: Проверка для второго значения

Второе значение: (y + 2)² = 4

Корни: y = -4 и y = 0

Ответ: -4; 0.

Пример д

Дано уравнение:

(x² + 2x)(x² + 2x + 2) = 3

Пусть y = x² + 2x, тогда уравнение примет вид:

y² + 2y — 3 = 0

Шаг 1: Находим дискриминант уравнения

Дискриминант уравнения y² + 2y — 3 = 0 вычисляется по формуле:

D = b² — 4ac

где a = 1, b = 2, c = -3.

Дискриминант: D = 2² — 4 × 1 × (-3) = 4 + 12 = 16

Шаг 2: Находим корни уравнения

Корни: y₁ = (-2 + √16) / 2 = (-2 + 4) / 2 = 1

y₂ = (-2 — √16) / 2 = (-2 — 4) / 2 = -3

Шаг 3: Проверка для первого значения

Первое значение: x² + 2x = -3

Корней нет, так как дискриминант будет отрицательным.

Шаг 4: Проверка для второго значения

Второе значение: x² + 2x = 1

Корни: x = -1 ± √2

Ответ: -1 — √2; -1 + √2.

Пример е

Дано уравнение:

(x² — x — 16)(x² — x + 2) = 88

Пусть y = x² — x + 2, тогда уравнение примет вид:

y(y — 18) = 88

y² — 18y — 88 = 0

Шаг 1: Находим дискриминант уравнения

Дискриминант уравнения y² — 18y — 88 = 0 вычисляется по формуле:

D = b² — 4ac

где a = 1, b = -18, c = -88.

Дискриминант: D = (-18)² — 4 × 1 × (-88) = 324 + 352 = 676

Шаг 2: Находим корни уравнения

Корни: y₁ = (-(-18) + √676) / 2 = (18 + 26) / 2 = 22

y₂ = (-(-18) — √676) / 2 = (18 — 26) / 2 = -4

Шаг 3: Проверка для первого значения

Первое значение: x² — x + 2 = -4

Корней нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Шаг 4: Проверка для второго значения

Второе значение: x² — x + 2 = 22

Корни: x = -4; 5

Ответ: -4; 5.

Пример ж

Дано уравнение:

(2x² + 7x — 8)(2x² + 7x — 3) — 6 = 0

Пусть y = 2x² + 7x — 3, тогда уравнение примет вид:

y² — 5y — 6 = 0

Шаг 1: Находим дискриминант уравнения

Дискриминант уравнения y² — 5y — 6 = 0 вычисляется по формуле:

D = b² — 4ac

где a = 1, b = -5, c = -6.

Дискриминант: D = (-5)² — 4 × 1 × (-6) = 25 + 24 = 49

Шаг 2: Находим корни уравнения

Корни: y₁ = (-(-5) + √49) / 2 = (5 + 7) / 2 = 6

y₂ = (-(-5) — √49) / 2 = (5 — 7) / 2 = -1

Шаг 3: Проверка для первого значения

Первое значение: 2x² + 7x — 3 = -1

Корни: x = -4.5; 1

Шаг 4: Проверка для второго значения

Второе значение: 2x² + 7x — 3 = 6

Корни: x = -\(\frac{7 ± √65}{4}\)

Ответ: -4.5; 1; -\(\frac{7 ± √65}{4}\)