Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 357 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
С помощью графиков выясните, сколько решений может иметь уравнение х3 + ах + b = 0 при различных значениях а и b.
Уравнение:
\[
x^3 + ax + b = 0
\]
Преобразование:
\[
x^3 = -ax — b
\]
Количество решений равно количеству точек пересечения кубической параболы \(y = x^3\) и прямой \(y = -ax — b\).\
1. Если \(a = 0\), \(b \in (-\infty; \infty)\):
— Графики имеют одну точку пересечения \(y = -b\).
2. Если \(a > 0\), \(b \in (-\infty; \infty)\):
— Графики имеют одну точку пересечения. Уравнение имеет одно решение.
3. Если \(a < 0\), \(b \in (-\infty; \infty)\):
— Графики также имеют одну точку пересечения.
Уравнение может иметь одно, два или три решения:
1. Случай \(b = 0\):
— Прямая \(y = -ax\) пересекает кубическую параболу в трёх точках.
2. Прямые, параллельные \(y = -ax\):
— Существует прямая, пересекающая параболу в двух точках.
— Симметричная ей прямая также пересекает параболу в двух точках.
Эти прямые имеют коэффициенты \(b = b_0 > 0\) и \(b = -b_0 < 0\).
3. Случаи:
— Если \(b > b_0\) или \(b < -b_0\), прямая пересекает кубическую параболу в одной точке.
— Если \(-b_0 < b < b_0\), прямая пересекает кубическую параболу в трёх точках.
Шаг 1: Преобразование уравнения
Начальное уравнение:
x³ + ax + b = 0
Переносим все члены, кроме \(x^3\), в правую часть:
x³ = -ax — b
Теперь будем находить количество решений уравнения, исследуя пересечения графиков кубической параболы \(y = x³\) и прямой \(y = -ax — b\).
Шаг 2: Анализ случаев
Случай 1: \(a = 0\), \(b \in (-\infty; \infty)\)
Если \(a = 0\), то уравнение принимает вид:
x³ = -b
Прямая \(y = -b\) горизонтальна и пересекает параболу \(y = x³\) в одной точке:
Уравнение имеет одно решение.
Случай 2: \(a > 0\), \(b \in (-\infty; \infty)\)
Прямая \(y = -ax — b\) имеет отрицательный наклон. Она пересекает параболу \(y = x³\) в одной точке:
Уравнение имеет одно решение.
Случай 3: \(a < 0\), \(b \in (-\infty; \infty)\)
Прямая \(y = -ax — b\) имеет положительный наклон. Она также пересекает параболу \(y = x³\) в одной точке:
Уравнение имеет одно решение.
Шаг 3: Случай \(b = 0\)
Если \(b = 0\), то уравнение принимает вид:
x³ + ax = 0
Вынесем общий множитель \(x\):
x(x² + a) = 0
Уравнение имеет три корня:
- \(x = 0\)
- \(x = \sqrt{-a}\), если \(a < 0\)
- \(x = -\sqrt{-a}\), если \(a < 0\)
Таким образом, при \(b = 0\) уравнение может иметь три корня.
Шаг 4: Общий случай
В общем случае, количество решений зависит от расположения прямой \(y = -ax — b\) относительно параболы \(y = x³\):
- Если прямая касается параболы — два решения.
- Если прямая пересекает параболу в трёх точках — три решения.
- Если прямая пересекает параболу в одной точке — одно решение.
Шаг 5: Итог
Количество решений уравнения \(x^3 + ax + b = 0\) зависит от коэффициентов \(a\) и \(b\). Возможные варианты:
- Одно решение, если прямая пересекает параболу в одной точке.
- Два решения, если прямая касается параболы.
- Три решения, если прямая пересекает параболу в трёх точках.
Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.