ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 338 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) \( \frac{5x + 4}{x} < 4 \);

б) \( \frac{6x + 1}{x + 1} > 1 \);

в) \( \frac{x}{x — 1} \geq 2 \);

г) \( \frac{3x — 1}{x + 2} \geq 1 \).

a) \[\frac{5x + 4}{x} < 4;\]

\[\frac{(5x + 4) — 4x}{x} < 0;\]

\[\frac{x + 4}{x} < 0;\]

\[-4 < x < 0;\]

Ответ: \((-4; 0)\).

б) \[\frac{6x + 1}{x + 1} > 1;\]

\[\frac{(6x + 1) — (x + 1)}{x + 1} > 0;\]

\[\frac{6x + 1 — x — 1}{x + 1} > 0;\]

\[\frac{5x}{x + 1} > 0;\]

\[x < -1, \, x > 0;\]

Ответ: \((-∞; -1) \cup (0; +∞)\).

в) \[\frac{x}{x — 1} \geq 2;\]

\[\frac{2(x — 1) — x}{x — 1} \leq 0;\]

\[\frac{2x — 2 — x}{x — 1} \leq 0;\]

\[\frac{x — 2}{x — 1} \leq 0;\]

\[1 < x \leq 2;\]

Ответ: \((1; 2]\).

г) \[\frac{3x — 1}{x + 2} \geq 1;\]

\[\frac{(3x — 1) — (x + 2)}{x + 2} \geq 0;\]

\[\frac{3x — 1 — x — 2}{x + 2} \geq 0;\]

\[\frac{2x — 3}{x + 2} \geq 0;\]

\[x < -2, \, x \geq 1.5;\]

Ответ: \((-∞; -2) \cup [1.5; +∞)\).

Задача a

Рассмотрим неравенство:

\[
\frac{5x + 4}{x} < 4
\]

Переносим 4 влево:
\[
\frac{5x + 4}{x} — 4 < 0
\]

Приводим к общему знаменателю:
\[
\frac{(5x + 4) — 4x}{x} < 0
\]

Считаем числитель:
\[
5x + 4 — 4x = x + 4
\]

Получаем неравенство:
\[
\frac{x + 4}{x} < 0
\]

Решаем его, учитывая знаки:

Знаменатель \(x = 0\).

Числитель \(x + 4 = 0\) при \(x = -4\).

Интервалы: \((-∞; -4)\), \((-4; 0)\), \((0; +∞)\).

Проверка знаков на интервалах показывает, что выражение отрицательно на \((-4; 0)\).

Ответ: (-4; 0).

Задача б

Рассмотрим неравенство:

\[
\frac{6x + 1}{x + 1} > 1
\]

Переносим 1 влево:
\[
\frac{6x + 1}{x + 1} — 1 > 0
\]

Приводим к общему знаменателю:
\[
\frac{(6x + 1) — (x + 1)}{x + 1} > 0
\]

Считаем числитель:
\[
6x + 1 — x — 1 = 5x
\]

Получаем неравенство:
\[
\frac{5x}{x + 1} > 0
\]

Решаем его, учитывая знаки:

Знаменатель \(x + 1 = 0\) при \(x = -1\).

Числитель \(5x = 0\) при \(x = 0\).

Интервалы: \((-∞; -1)\), \((-1; 0)\), \((0; +∞)\).

Проверка знаков на интервалах показывает, что выражение положительно на \((-∞; -1)\) и \((0; +∞)\).

Ответ: (-∞; -1) ∪ (0; +∞).

Задача в

Рассмотрим неравенство:

\[
\frac{x}{x — 1} \geq 2
\]

Переносим 2 влево:
\[
\frac{x}{x — 1} — 2 \geq 0
\]

Приводим к общему знаменателю:
\[
\frac{x — 2(x — 1)}{x — 1} \geq 0
\]

Считаем числитель:
\[
x — 2x + 2 = -x + 2
\]

Получаем неравенство:
\[
\frac{-x + 2}{x — 1} \geq 0
\]

Решаем его, учитывая знаки:

Знаменатель \(x — 1 = 0\) при \(x = 1\).

Числитель \(-x + 2 = 0\) при \(x = 2\).

Интервалы: \((-∞; 1)\), \((1; 2)\), \((2; +∞)\).

Проверка знаков на интервалах показывает, что выражение неотрицательно на \((1; 2]\).

Ответ: (1; 2].

Задача г

Рассмотрим неравенство:

\[
\frac{3x — 1}{x + 2} \geq 1
\]

Переносим 1 влево:
\[
\frac{3x — 1}{x + 2} — 1 \geq 0
\]

Приводим к общему знаменателю:
\[
\frac{(3x — 1) — (x + 2)}{x + 2} \geq 0
\]

Считаем числитель:
\[
3x — 1 — x — 2 = 2x — 3
\]

Получаем неравенство:
\[
\frac{2x — 3}{x + 2} \geq 0
\]

Решаем его, учитывая знаки:

Знаменатель \(x + 2 = 0\) при \(x = -2\).

Числитель \(2x — 3 = 0\) при \(x = 1.5\).

Интервалы: \((-∞; -2)\), \((-2; 1.5)\), \((1.5; +∞)\).

Проверка знаков на интервалах показывает, что выражение неотрицательно на \((-∞; -2)\) и \([1.5; +∞)\).

Ответ: (-∞; -2) ∪ [1.5; +∞).