ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 320 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Пример (а)

Пример (а)
Система:
\[
\begin{cases}
x^2 — 2x — 8 < 0 \\
x^2 — 9 < 0
\end{cases}
\]

Решение первого неравенства:
Рассмотрим \(x^2 — 2x — 8 < 0\). Вычислим дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4
\]
Разложение:
\[
(x + 2)(x — 4) < 0
\]
Решение: \(-2 < x < 4\).

Решение второго неравенства:
Рассмотрим \(x^2 — 9 < 0\). Разложение:
\[
(x + 3)(x — 3) < 0
\]
Решение: \(-3 < x < 3\).

Пересечение решений:
Общая часть интервалов: \((-2; 4) \cap (-3; 3) = (-2; 3)\).

Ответ: \((-2; 3)\).

Пример (б)
Система:
\[
\begin{cases}
2x^2 — 13x + 6 < 0 \\
x^2 — 4x > 0
\end{cases}
\]

Решение первого неравенства:
Рассмотрим \(2x^2 — 13x + 6 < 0\). Дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = (-13)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 — 48 = 121
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{-(-13) — \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{13 — 11}{4} = 0.5, \quad x_2 = \frac{-(-13) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 11}{4} = 6
\]
Разложение:
\[
(2x — 1)(x — 6) < 0
\]
Решение: \(0.5 < x < 6\).

Решение второго неравенства:
Рассмотрим \(x^2 — 4x > 0\). Разложение:
\[
x(x — 4) > 0
\]
Решение: \(x < 0 \text{ или } x > 4\).

Пересечение решений:
Общая часть интервалов: \((0.5; 6) \cap (4; +\infty) = (4; 6)\).

Ответ: \((4; 6)\).

Пример (в)
Система:
\[
\begin{cases}
x^2 + 10x + 16 \leq 0 \\
x^2 — 18x + 80 < 0
\end{cases}
\]

Решение первого неравенства:
Рассмотрим \(x^2 + 10x + 16 \leq 0\). Дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 — 64 = 36
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{-10 — \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 — 6}{2} = -8, \quad x_2 = \frac{-10 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 6}{2} = -2
\]
Разложение:
\[
(x + 8)(x + 2) \leq 0
\]
Решение: \(-8 \leq x \leq -2\).

Решение второго неравенства:
Рассмотрим \(x^2 — 18x + 80 < 0\). Дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = (-18)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 80 = 324 — 320 = 4
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{-(-18) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{18 — 2}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{-(-18) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 2}{2} = 10
\]
Разложение:
\[
(x — 8)(x — 10) < 0
\]
Решение: \(8 < x < 10\).

Пересечение решений:
Общая часть интервалов: \((-8; -2) \cup (8; 10)\).

Ответ: \((-8; -2) \cup (8; 10)\).

Пример (г)
Система:
\[
\begin{cases}
x^2 — 3x + 2 \geq 0 \\
x^2 + x — 6 \leq 0
\end{cases}
\]

Решение первого неравенства:
Рассмотрим \(x^2 — 3x + 2 \geq 0\). Разложение:
\[
(x — 1)(x — 2) \geq 0
\]
Решение: \(x \leq 1 \text{ или } x \geq 2\).

Решение второго неравенства:
Рассмотрим \(x^2 + x — 6 \leq 0\). Разложение:
\[
(x — 2)(x + 3) \leq 0
\]
Решение: \(-3 \leq x \leq 2\).

Пересечение решений:
Общая часть интервалов: \((-\infty; 1] \cup [2; +\infty) \cap [-3; 2] = [-3; 1] \cup \{2\}\).

Ответ: \([-3; 1] \cup \{2\}\).

Пример (д)
Система:
\[
\begin{cases}
x^2 — 6x + 9 > 0 \\
x^2 — 2x — 3 \leq 0
\end{cases}
\]

Решение первого неравенства:
Рассмотрим \(x^2 — 6x + 9 > 0\). Разложение:
\[
(x — 3)^2 > 0
\]
Решение: \(x \neq 3\).

Решение второго неравенства:
Рассмотрим \(x^2 — 2x — 3 \leq 0\). Разложение:
\[
(x — 3)(x + 1) \leq 0
\]
Решение: \(-1 \leq x \leq 3\).

Пересечение решений:
Общая часть интервалов: \((-1; 3)\).

Ответ: \((-1; 3)\).

Пример (е)
Система:
\[
\begin{cases}
x^2 — 5x + 6 \geq 0 \\
x^2 — 4x + 3 \leq 0
\end{cases}
\]

Решение первого неравенства:
Рассмотрим \(x^2 — 5x + 6 \geq 0\). Разложение:
\[
(x — 2)(x — 3) \geq 0
\]
Решение: \(x \leq 2 \text{ или } x \geq 3\).

Решение второго неравенства:
Рассмотрим \(x^2 — 4x + 3 \leq 0\). Разложение:
\[
(x — 1)(x — 3) \leq 0
\]
Решение: \(1 \leq x \leq 3\).

Пересечение решений:
Общая часть интервалов: \((-\infty; 2] \cup [3; +\infty) \cap [1; 3] = [1; 2] \cup \{3\}\).

Ответ \([1; 2] \cup \{3\}\).