ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 320 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решить систему неравенств:

а)
\(
\begin{cases}
x^2 — 2x — 8 < 0 \\
x^2 — 9 < 0
\end{cases}
\)

Первое неравенство:

\( x^2 — 2x — 8 < 0 \)

\( D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36 \), тогда:

\( x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \)

\( (x + 2)(x — 4) < 0 \), \( -2 < x < 4 \)

Второе неравенство:

\( x^2 — 9 < 0 \)

\( (x + 3)(x — 3) < 0 \), \( -3 < x < 3 \)

Ответ: \( (-2; 3) \).
б)
\(
\begin{cases}
2x^2 — 13x + 6 < 0 \\ x^2 — 4x > 0
\end{cases}
\)

Первое неравенство:

\( 2x^2 — 13x + 6 < 0 \)

\( D = 13^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 — 48 = 121 \), тогда:

\( x_1 = \frac{13 — 11}{2 \cdot 2} = 0.5 \), \( x_2 = \frac{13 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6 \)

\( (x — 0.5)(x — 6) < 0 \), \( 0.5 < x < 6 \) Второе неравенство: \( x^2 — 4x > 0 \)

\( x(x — 4) > 0 \), \( x < 0 \) или \( x > 4 \)

Ответ: \( (4; 6) \).
в)
\(
\begin{cases}
x^2 — 6x — 16 > 0 \\
x^2 + 2x — 120 < 0 \end{cases} \) Первое неравенство: \( x^2 — 6x — 16 > 0 \)

\( D = 6^2 + 4 \cdot 16 = 36 + 64 = 100 \), тогда:

\( x_1 = \frac{6 — 10}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8 \)

\( (x + 2)(x — 8) > 0 \), \( x < -2 \) или \( x > 8 \)

Второе неравенство:

\( x^2 + 2x — 120 < 0 \)

\( D = 2^2 + 4 \cdot 120 = 4 + 480 = 484 \), тогда:

\( x_1 = \frac{-2 — 22}{2} = -12 \), \( x_2 = \frac{-2 + 22}{2} = 10 \)

\( (x + 12)(x — 10) < 0 \), \( -12 < x < 10 \)

Ответ: \( (-12; -2) \cup (8; 10) \).
г)
\(
\begin{cases}
3x^2 + x — 2 \leq 0 \\
x^2 + 4x — 12 \leq 0
\end{cases}
\)

Первое неравенство:

\( 3x^2 + x — 2 \leq 0 \)

\( D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25 \), тогда:

\( x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 3} = -1 \), \( x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3} \)

\( (x + 1)(x — \frac{2}{3}) \leq 0 \), \( -1 \leq x \leq \frac{2}{3} \)

Второе неравенство:

\( x^2 + 4x — 12 \leq 0 \)

\( D = 4^2 + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64 \), тогда:

\( x_1 = \frac{-4 — 8}{2} = -6 \), \( x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2 \)

\( (x + 6)(x — 2) \leq 0 \), \( -6 \leq x \leq 2 \)

Ответ: \( [-1; \frac{2}{3}] \).

д)
\[
\begin{cases}
2x^2 + 4x + 15 \geq 0 \\
x^2 — 9x + 8 \leq 0
\end{cases}
\]

Первое неравенство:

\( 2x^2 + 4x + 15 \geq 0 \)

\( D = 4^2 — 4 \cdot 2 \cdot 15 = 16 — 120 = -104 \)

\( D < 0 \) и \( a > 0 \), значит \( x \in \mathbb{R} \).

Второе неравенство:

\( x^2 — 9x + 8 \leq 0 \)

\( D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49 \), тогда:

\( x_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)

\( (x — 1)(x — 8) \leq 0 \), \( 1 \leq x \leq 8 \)

Ответ: \( [1; 8] \).
е)
\[
\begin{cases}
2x^2 + 5x — 3 < 0 \\
3x^2 + x + 11 < 0
\end{cases}
\]

Первое неравенство:

\( 2x^2 + 5x — 3 < 0 \)

\( D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49 \), тогда:

\( x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = -3 \), \( x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = 0.5 \)

\( (x + 3)(x — 0.5) < 0 \), \( -3 < x < 0.5 \)

Второе неравенство:

\( 3x^2 + x + 11 < 0 \)

\( D = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot 11 = 1 — 132 = -132 \)

\( D < 0 \) и \( a > 0 \),

Ответ: решений нет.

а) Решение:

Система неравенств:

\(
\begin{cases}
x^2 — 2x — 8 < 0 \\
x^2 — 9 < 0
\end{cases}
\)

Первое неравенство:

\( x^2 — 2x — 8 < 0 \)

Шаг 1: Вычислим дискриминант:

\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)

Шаг 2: Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 6}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \)

Шаг 3: Разбираем неравенство:

\( (x + 2)(x — 4) < 0 \), \( -2 < x < 4 \)

Второе неравенство:

\( x^2 — 9 < 0 \)

Шаг 1: Преобразуем неравенство:

\( (x + 3)(x — 3) < 0 \), \( -3 < x < 3 \)

Ответ: \( (-2; 3) \).

б) Решение:

Система неравенств:

\(
\begin{cases}
2x^2 — 13x + 6 < 0 \\ x^2 — 4x > 0
\end{cases}
\)

Первое неравенство:

\( 2x^2 — 13x + 6 < 0 \)

Шаг 1: Вычислим дискриминант:

\( D = 13^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 — 48 = 121 \)

Шаг 2: Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{13 — 11}{2 \cdot 2} = 0.5 \), \( x_2 = \frac{13 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6 \)

Шаг 3: Разбираем неравенство:

\( (x — 0.5)(x — 6) < 0 \), \( 0.5 < x < 6 \)

Второе неравенство:

\( x^2 — 4x > 0 \)

Шаг 1: Преобразуем неравенство:

\( x(x — 4) > 0 \), \( x < 0 \) или \( x > 4 \)

Ответ: \( (4; 6) \).

в) Решение:

Система неравенств:

\(
\begin{cases}
x^2 — 6x — 16 > 0 \\
x^2 + 2x — 120 < 0
\end{cases}
\)

Первое неравенство:

\( x^2 — 6x — 16 > 0 \)

Шаг 1: Вычислим дискриминант:

\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 \)

Шаг 2: Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 10}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8 \)

Шаг 3: Разбираем неравенство:

\( (x + 2)(x — 8) > 0 \), \( x < -2 \) или \( x > 8 \)

Второе неравенство:

\( x^2 + 2x — 120 < 0 \)

Шаг 1: Вычислим дискриминант:

\( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484 \)

Шаг 2: Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-2 — 22}{2} = -12 \), \( x_2 = \frac{-2 + 22}{2} = 10 \)

Шаг 3: Разбираем неравенство:

\( (x + 12)(x — 10) < 0 \), \( -12 < x < 10 \)

Ответ: \( (-12; -2) \cup (8; 10) \).

г) Решение:

Система неравенств:

\(
\begin{cases}
3x^2 + x — 2 \leq 0 \\
x^2 + 4x — 12 \leq 0
\end{cases}
\)

Первое неравенство:

\( 3x^2 + x — 2 \leq 0 \)

Шаг 1: Вычислим дискриминант:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \)

Шаг 2: Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 3} = -1 \), \( x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3} \)

Шаг 3: Разбираем неравенство:

\( (x + 1)(x — \frac{2}{3}) \leq 0 \), \( -1 \leq x \leq \frac{2}{3} \)

Второе неравенство:

\( x^2 + 4x — 12 \leq 0 \)

Шаг 1: Вычислим дискриминант:

\( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \)

Шаг 2: Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-4 — 8}{2} = -6 \), \( x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2 \)

Шаг 3: Разбираем неравенство:

\( (x + 6)(x — 2) \leq 0 \), \( -6 \leq x \leq 2 \)

Ответ: \( [-1; \frac{2}{3}] \).

д) Решение:

Система неравенств:

\(
\begin{cases}
2x^2 + 4x + 15 \geq 0 \\
x^2 — 9x + 8 \leq 0
\end{cases}
\)

Первое неравенство:

\( 2x^2 + 4x + 15 \geq 0 \)

Шаг 1: Вычислим дискриминант:

\( D = 4^2 — 4 \cdot 2 \cdot 15 = 16 — 120 = -104 \)

Шаг 2: Так как \(D < 0\) и \(a > 0\), неравенство выполняется для всех \(x \in \mathbb{R}\).

Второе неравенство:

\( x^2 — 9x + 8 \leq 0 \)

Шаг 1: Вычислим дискриминант:

\( D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49 \)

Шаг 2: Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8 \)

Шаг 3: Разбираем неравенство:

\( (x — 1)(x — 8) \leq 0 \), \( 1 \leq x \leq 8 \)

Ответ: \( [1; 8] \).

е) Решение:

Система неравенств:

\(
\begin{cases}
2x^2 + 5x — 3 < 0 \\
3x^2 + x + 11 < 0
\end{cases}
\)

Первое неравенство:

\( 2x^2 + 5x — 3 < 0 \)

Шаг 1: Вычислим дискриминант:

\( D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \)

Шаг 2: Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = -3 \), \( x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = 0.5 \)

Шаг 3: Разбираем неравенство:

\( (x + 3)(x — 0.5) < 0 \), \( -3 < x < 0.5 \)

Второе неравенство:

\( 3x^2 + x + 11 < 0 \)

Шаг 1: Вычислим дискриминант:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot 11 = 1 — 132 = -132 \)

Шаг 2: Так как \(D < 0\) и \(a > 0\), решений нет.

Ответ: решений нет.