ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 300 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а)
\[
x^2 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{2} \cdot \left(x — \frac{1}{x}\right) = \frac{3}{2};
\]

\[
x^2 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{2} \cdot \left(x — \frac{1}{x}\right) = 7/2;
\]

\[
\left(x^2 — 2 + \frac{1}{x^2}\right) — \frac{1}{2} \cdot \left(x — \frac{1}{x}\right) = 3/2;
\]

\[
\left(x — \frac{1}{x}\right)^2 — \frac{1}{2} \cdot \left(x — \frac{1}{x}\right) — \frac{3}{2} = 0;
\]

Пусть \( y = x — \frac{1}{x} \), тогда:
\[
y^2 — \frac{y}{2} — \frac{3}{2} = 0, \quad 2y^2 — y — 3 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25, \, \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = -1, \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{3}{2};
\]

\[
x — \frac{1}{x} = -1, \quad x^2 + x — 1 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5, \, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2};
\]

Второе значение:
\[
x — \frac{1}{x} = \frac{3}{2}, \quad 2x^2 — 3x — 2 = 0;
\]

\[
D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25, \, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{3 — \sqrt{5}}{4}, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{4};
\]

Ответ:\( \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; \; -\frac{1}{2}; \; 2 \).

б)

\[
x^2 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{3} \cdot \left(x + \frac{1}{x}\right) = 8;
\]

\[
x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{3} \cdot \left(x + \frac{1}{x}\right) = 10;
\]

\[
\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — \frac{1}{3} \cdot \left(x + \frac{1}{x}\right) — 10 = 0;
\]

Пусть \( y = x + \frac{1}{x} \), тогда:
\[
y^2 — \frac{1}{3}y — 10 = 0, \quad 3y^2 — y — 30 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 30 = 1 + 360 = 361, \, \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{-1 — 19}{2 \cdot 3} = -3, \quad y_2 = \frac{-1 + 19}{2 \cdot 3} = 3;
\]

Первое значение:
\[
x + \frac{1}{x} = -3, \quad x^2 + 3x + 1 = 0;
\]

\[
D = 3^2 — 4 \cdot 1 = 9 — 4 = 5, \, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-3 — \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2};
\]

Второе значение:
\[
x + \frac{1}{x} = 3, \quad 3x^2 — 10x + 3 = 0;
\]

\[
D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64, \, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{10 — 8}{6} = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{10 + 8}{6} = 3;
\]

Ответ:
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}, \quad x = \frac{1}{3}, \, 3.
\]

а) Решение:

Уравнение: \(x^2 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{2} \cdot \left(x — \frac{1}{x}\right) = \frac{3}{2}\);

Шаг 1: Подставляем уравнение во второй вид:

\(x^2 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{2} \cdot \left(x — \frac{1}{x}\right) = \frac{7}{2}\);

Шаг 2: Упрощаем уравнение, получая:

\(x^2 — 2 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{2} \cdot \left(x — \frac{1}{x}\right) = \frac{3}{2}\);

Шаг 3: Получаем уравнение через квадрат:

\(\left(x — \frac{1}{x}\right)^2 — \frac{1}{2} \cdot \left(x — \frac{1}{x}\right) — \frac{3}{2} = 0\);

Шаг 4: Пусть \(y = x — \frac{1}{x}\), тогда:

\(y^2 — \frac{y}{2} — \frac{3}{2} = 0, \quad 2y^2 — y — 3 = 0\);

Шаг 5: Находим дискриминант:

\(D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25\);

Шаг 6: Решаем уравнение для \(y\):

\(y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = -1, \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{3}{2}\);

Шаг 7: Для первого значения:

\(x — \frac{1}{x} = -1, \quad x^2 + x — 1 = 0\);

Шаг 8: Находим дискриминант для этого уравнения:

\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5\);

Шаг 9: Находим корни:

\(x_1 = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\);

Шаг 10: Для второго значения:

\(x — \frac{1}{x} = \frac{3}{2}, \quad 2x^2 — 3x — 2 = 0\);

Шаг 11: Находим дискриминант:

\(D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25\);

Шаг 12: Находим корни:

\(x_1 = \frac{3 — \sqrt{5}}{4}, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}\);

Ответ: \(x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; \; -\frac{1}{2}; \; 2\).

б) Решение:

Уравнение: \(x^2 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{3} \cdot \left(x + \frac{1}{x}\right) = 8\);

Шаг 1: Подставляем уравнение во второй вид:

\(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{3} \cdot \left(x + \frac{1}{x}\right) = 10\);

Шаг 2: Преобразуем уравнение:

\(\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — \frac{1}{3} \cdot \left(x + \frac{1}{x}\right) — 10 = 0\);

Шаг 3: Пусть \(y = x + \frac{1}{x}\), тогда:

\(y^2 — \frac{1}{3}y — 10 = 0, \quad 3y^2 — y — 30 = 0\);

Шаг 4: Находим дискриминант:

\(D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 30 = 1 + 360 = 361\);

Шаг 5: Решаем уравнение для \(y\):

\(y_1 = \frac{-1 — 19}{2 \cdot 3} = -3, \quad y_2 = \frac{-1 + 19}{2 \cdot 3} = 3\);

Шаг 6: Для первого значения:

\(x + \frac{1}{x} = -3, \quad x^2 + 3x + 1 = 0\);

Шаг 7: Находим дискриминант для этого уравнения:

\(D = 3^2 — 4 \cdot 1 = 9 — 4 = 5\);

Шаг 8: Находим корни:

\(x_1 = \frac{-3 — \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}\);

Шаг 9: Для второго значения:

\(x + \frac{1}{x} = 3, \quad 3x^2 — 10x + 3 = 0\);

Шаг 10: Находим дискриминант:

\(D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64\);

Шаг 11: Находим корни:

\(x_1 = \frac{10 — 8}{6} = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{10 + 8}{6} = 3\);

Ответ: \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}, \quad x = \frac{1}{3}, \, 3\).