1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Учебник 📕 Макарычев, Миндюк — Все Части
Алгебра
9 класс учебник Макарычев
9 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.
Год
2019-2024.
Описание

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 299 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача
(Задача-исследование.) Существует ли такое положительное число, при сложении которого с числом, ему обратным, получится сумма, которая в 13 раз меньше суммы кубов этих чисел?
1) Обсудите, значения каких выражений сравниваются, и составьте соответствующее уравнение.
2) Решите уравнение, используя введение новой переменной.
3) Для каждого из найденных значений вспомогательной переменной вычислите корень составленного уравнения.
4) Выберите значения корней, соответствующие условию задачи.
Краткий ответ:

1)
\[
x + \frac{1}{x} = \frac{1}{13} \cdot \left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right);
\]
\[
13 \left(x + \frac{1}{x}\right) = \left(x + \frac{1}{x}\right) \left(x^2 — 1 + \frac{1}{x^2}\right);
\]
\[
\left(x + \frac{1}{x}\right) \left(x^2 — 14 + \frac{1}{x^2}\right) = 0;
\]
\[
x^2 — 14 + \frac{1}{x^2} = 0;
\]

2) Пусть \( y = \frac{1}{x^2} \), тогда:
\[
y + \frac{1}{y} — 14 = 0, \quad y^2 — 14y + 1 = 0;
\]
\[
D = 14^2 — 4 \cdot 1 = 196 — 4 = 192, \, \text{тогда:}
\]
\[
y = \frac{14 \pm \sqrt{192}}{2} = \frac{14 \pm 8\sqrt{3}}{2} = 7 \pm 4\sqrt{3};
\]
3)
Вернём значение:
\[
\frac{1}{x^2} = 7 \pm 4\sqrt{3} = 4 \pm 4\sqrt{3} + 3;
\]
\[
\frac{1}{x^2} = (2 + \sqrt{3})^2, \quad \frac{1}{x} = 2 \pm \sqrt{3};
\]
\[
x = \frac{1}{2 \pm \sqrt{3}} = \frac{2 \mp \sqrt{3}}{4 — 3} = 2 \pm \sqrt{3};
\]

Ответ: \( 2 — \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3} \).

Подробный ответ:

\[
x + \frac{1}{x} = \frac{1}{13} \cdot \left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right)
\]

Решение

Шаг 1: Преобразование уравнения

Умножим обе части уравнения на \( 13 \):

\[
13 \left(x + \frac{1}{x}\right) = \left(x + \frac{1}{x}\right) \cdot \left(x^2 — 1 + \frac{1}{x^2}\right)
\]

Вынесем общий множитель:

\[
\left(x + \frac{1}{x}\right) \cdot \left(x^2 — 14 + \frac{1}{x^2}\right) = 0
\]

Шаг 2: Решение второго множителя

Рассмотрим вторую часть уравнения:

\[
x^2 — 14 + \frac{1}{x^2} = 0
\]

Пусть \( y = \frac{1}{x^2} \), тогда уравнение примет вид:

\[
y + \frac{1}{y} — 14 = 0
\]

Умножим на \( y \) для избавления от дроби:

\[
y^2 — 14y + 1 = 0
\]

Шаг 3: Нахождение корней квадратного уравнения

Вычислим дискриминант:

\[
D = 14^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 196 — 4 = 192
\]

Корни уравнения:

\[
y = \frac{14 \pm \sqrt{192}}{2} = \frac{14 \pm 8\sqrt{3}}{2} = 7 \pm 4\sqrt{3}
\]

Шаг 4: Возвращение к переменной \( x \)

Вернёмся к выражению \( y = \frac{1}{x^2} \):

\[
\frac{1}{x^2} = 7 \pm 4\sqrt{3}
\]

Возьмём корень из обеих частей:

\[
\frac{1}{x} = \pm \sqrt{7 \pm 4\sqrt{3}}
\]

Найдём \( x \):

\[
x = \frac{1}{\pm \sqrt{7 \pm 4\sqrt{3}}}
\]

Упростим выражение:

\[
x = 2 \pm \sqrt{3}
\]

Ответ

\[
x = 2 — \sqrt{3}, \, x = 2 + \sqrt{3}
\]



Общая оценка
4.5 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы
Как выбрать ГДЗ по математике

Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.