Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 298 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите корни уравнения:
a)
\[
\left(\frac{x+2}{x-4}\right)^2 + 16 \left(\frac{x-4}{x+2}\right)^2 = 17
\]
Пусть \( y = \left(\frac{x+2}{x-4}\right)^2 \), тогда:
\[
y + \frac{16}{y} = 17, \quad y^2 — 17y + 16 = 0
\]
Дискриминант:
\[
D = 17^2 — 4 \cdot 16 = 289 — 64 = 225
\]
Корни:
\[
y_1 = \frac{17 — 15}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{17 + 15}{2} = 16
\]
Первое значение:
\[
\left(\frac{x+2}{x-4}\right)^2 = 1, \quad \frac{x+2}{x-4} = \pm 1
\]
\[
x+2 = x-4, \quad 0x = -6, \, x \notin \mathbb{R}
\]
\[
x+2 = 4-x, \quad 2x = 2, \quad x = 1
\]
Второе значение:
\[
\left(\frac{x+2}{x-4}\right)^2 = 16, \quad \frac{x+2}{x-4} = \pm 4
\]
\[
x+2 = 4(x-4), \quad 3x = 18, \quad x = 6
\]
\[
x+2 = 16 — 4x, \quad 5x = 14, \quad x = 2.8
\]
Ответ: \( 1; 2.8; 6 \).
б)
\[
\left(\frac{x+1}{x-3}\right)^2 + 18 \left(\frac{x-3}{x+1}\right)^2 = 11
\]
Пусть \( y = \left(\frac{x+1}{x-3}\right)^2 \), тогда:
\[
y + \frac{18}{y} = 11, \quad y^2 — 11y + 18 = 0
\]
Дискриминант:
\[
D = 11^2 — 4 \cdot 18 = 121 — 72 = 49
\]
Корни:
\[
y_1 = \frac{11 — 7}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{11 + 7}{2} = 9
\]
Первое значение:
\[
\left(\frac{x+1}{x-3}\right)^2 = 2, \quad \frac{x+1}{x-3} = \pm \sqrt{2}
\]
\[
x+1 = \pm \sqrt{2}(x-3)
\]
\[
(1+\sqrt{2})x = -1 + 3\sqrt{2}, \quad x = \frac{-1 + 3\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}
\]
\[
x = 7 + 4\sqrt{2}
\]
Второе значение:
\[
\left(\frac{x+1}{x-3}\right)^2 = 9, \quad \frac{x+1}{x-3} = \pm 3
\]
\[
x+1 = 3(x-3), \quad 2x = 10, \quad x = 5
\]
\[
x+1 = -3(x-3), \quad 4x = 8, \quad x = 2
\]
Ответ: \( 7+4\sqrt{2}; 5; 2 \).
Задача a)
Уравнение: \( \left(\frac{x+2}{x-4}\right)^2 + 16 \left(\frac{x-4}{x+2}\right)^2 = 17 \)
Пусть \( y = \left(\frac{x+2}{x-4}\right)^2 \), тогда:
\( y + \frac{16}{y} = 17 \) или \( y^2 — 17y + 16 = 0 \).
Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант: \( D = 17^2 — 4 \times 16 = 225 \).
Корни: \( y_1 = \frac{17 — 15}{2} = 1 \), \( y_2 = \frac{17 + 15}{2} = 16 \).
Подставляем значения \( y \):
Для \( y = 1 \):
\( \left(\frac{x+2}{x-4}\right)^2 = 1 \), \( \frac{x+2}{x-4} = \pm 1 \).
Решения: \( x+2 = x-4 \) (нет решений), \( x+2 = 4-x \) даёт \( x = 1 \).
Для \( y = 16 \):
\( \left(\frac{x+2}{x-4}\right)^2 = 16 \), \( \frac{x+2}{x-4} = \pm 4 \).
Решения: \( x+2 = 4(x-4) \) даёт \( x = 6 \), \( x+2 = 16-4x \) даёт \( x = 2.8 \).
Ответ: \( 1; 2.8; 6 \).
Задача b)
Уравнение: \( \left(\frac{x+1}{x-3}\right)^2 + 18 \left(\frac{x-3}{x+1}\right)^2 = 11 \)
Пусть \( y = \left(\frac{x+1}{x-3}\right)^2 \), тогда:
\( y + \frac{18}{y} = 11 \) или \( y^2 — 11y + 18 = 0 \).
Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант: \( D = 11^2 — 4 \times 18 = 49 \).
Корни: \( y_1 = \frac{11 — 7}{2} = 2 \), \( y_2 = \frac{11 + 7}{2} = 9 \).
Подставляем значения \( y \):
Для \( y = 2 \):
\( \left(\frac{x+1}{x-3}\right)^2 = 2 \), \( \frac{x+1}{x-3} = \pm \sqrt{2} \).
Решения: \( x+1 = \pm \sqrt{2}(x-3) \).
\( (1+\sqrt{2})x = -1 + 3\sqrt{2} \), \( x = \frac{-1 + 3\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = 7 + 4\sqrt{2} \).
Для \( y = 9 \):
\( \left(\frac{x+1}{x-3}\right)^2 = 9 \), \( \frac{x+1}{x-3} = \pm 3 \).
Решения: \( x+1 = 3(x-3) \) даёт \( x = 5 \), \( x+1 = -3(x-3) \) даёт \( x = 2 \).
Ответ: \( 7 + 4\sqrt{2}; 5; 2 \).
Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.