ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 292 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

(а)

\[
\frac{a + 1}{a — 2} + \frac{a — 4}{a + 1} = \frac{3a + 3}{a^2 — a — 2};
\]

Приведение к общему знаменателю:
\[
\frac{a + 1}{a — 2} + \frac{a — 4}{a + 1} = \frac{3a + 3}{(a — 2)(a + 1)};
\]

Раскрытие скобок и упрощение:
\[
(a + 1)^2 + (a — 4)(a — 2) = 3a + 3;
\]
\[
a^2 + 2a + 1 + a^2 — 6a + 8 = 3a + 3;
\]
\[
2a^2 — 4a + 9 = 3a + 3;
\]
\[
2a^2 — 7a + 6 = 0.
\]

Дискриминант:
\[
D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 — 48 = 1;
\]

Корни:
\[
a_1 = \frac{7 — 1}{2 \cdot 2} = 1.5, \quad a_2 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 2} = 2.
\]

Область определения:
\[
a — 2 \neq 0 \quad (a \neq 2), \quad a + 1 \neq 0 \quad (a \neq -1).
\]

Ответ: \(a = 1.5\).

(б)

\[
\frac{3a — 5}{a^2 — 1} — \frac{6a — 5}{a — a^2} = \frac{3a + 2}{a^2 + a};
\]

Приведение к общему знаменателю:
\[
\frac{3a — 5}{(a + 1)(a — 1)} — \frac{6a — 5}{a(a + 1)} = \frac{3a + 2}{a(a + 1)};
\]

Раскрытие скобок и упрощение:
\[
a(3a — 5) + (6a — 5)(a + 1) = (3a + 2)(a — 1);
\]
\[
3a^2 — 5a + 6a^2 + 6a — 5a — 5 = 3a^2 — a — 2;
\]
\[
6a^2 — 3a — 3 = 0, \quad 2a^2 — a — 1 = 0.
\]

Дискриминант:
\[
D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9;
\]

Корни:
\[
a_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -0.5, \quad a_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1.
\]

Область определения:
\[
a + 1 \neq 0 \quad (a \neq -1), \quad a — 1 \neq 0 \quad (a \neq 1).
\]

Ответ: \(a = -0.5\).

Задача (а)

Уравнение: \( \frac{a + 1}{a — 2} + \frac{a — 4}{a + 1} = \frac{3a + 3}{a^2 — a — 2} \)

Шаг 1: Приводим к общему знаменателю:

Общий знаменатель для всех трех дробей: \((a — 2)(a + 1)\).

Шаг 2: Раскрываем скобки и упрощаем числители:

\( (a + 1)^2 + (a — 4)(a — 2) = 3a + 3 \)

Раскроем скобки:

\( a^2 + 2a + 1 + a^2 — 6a + 8 = 3a + 3 \)

Упрощаем выражение:

\( 2a^2 — 4a + 9 = 3a + 3 \)

Переносим все члены на одну сторону:

\( 2a^2 — 7a + 6 = 0 \)

Шаг 3: Находим дискриминант:

Для уравнения \( 2a^2 — 7a + 6 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 — 48 = 1 \)

Шаг 4: Находим корни уравнения:

Корни уравнения вычисляются по формуле для квадратных уравнений:

\( a_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 — 1}{4} = 1.5 \),

\( a_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 1}{4} = 2 \)

Шаг 5: Область определения:

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( a \neq 2 \), \( a \neq -1 \). Таким образом, \( a = 1.5 \) является допустимым решением.

Ответ: \( a = 1.5 \)

Задача (б)

Уравнение: \( \frac{3a — 5}{a^2 — 1} — \frac{6a — 5}{a — a^2} = \frac{3a + 2}{a^2 + a} \)

Шаг 1: Приводим к общему знаменателю:

Общий знаменатель: \((a + 1)(a — 1)\).

Шаг 2: Раскрываем скобки и упрощаем числители:

\( a(3a — 5) + (6a — 5)(a + 1) = (3a + 2)(a — 1) \)

Раскроем скобки и упростим:

\( 3a^2 — 5a + 6a^2 + 6a — 5a — 5 = 3a^2 — a — 2 \)

\( 3a^2 — 32a + 52 = 0 \)

Переносим все члены на одну сторону:

\( 2a^2 — a — 1 = 0 \)

Шаг 3: Находим дискриминант:

Для уравнения \( 2a^2 — a — 1 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \)

Шаг 4: Находим корни уравнения:

Корни уравнения вычисляются по формуле для квадратных уравнений:

\( a_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 3}{4} = -0.5 \),

\( a_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1 \)

Шаг 5: Область определения:

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( a \neq -1 \), \( a \neq 1 \). Таким образом, \( a = -0.5 \) является допустимым решением.

Ответ: \( a = -0.5 \)