1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Учебник 📕 Макарычев, Миндюк — Все Части
Алгебра
9 класс учебник Макарычев
9 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.
Год
2019-2024.
Описание

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 291 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Найдите корни уравнения:

а) \( \frac{3x — 2}{x — 1} — \frac{2x + 3}{x + 3} = \frac{12x + 4}{x^2 + 2x — 3} \);

б) \( \frac{5x — 1}{x + 7} — \frac{2x + 2}{x — 3} + \frac{63}{x^2 + 4x — 21} = 0 \);

в) \( \frac{x}{x^2 + 4x + 4} = -\frac{4}{x^2 — 4} — \frac{16}{x^3 + 2x^2 — 4x — 8} \).

Краткий ответ:

a)
\[
\frac{3x — 2}{x — 1} — \frac{2x + 3}{x + 3} = \frac{12x + 4}{x^2 + 2x — 3};
\]

Приведение к общему знаменателю:
\[
\frac{(3x — 2)(x + 3) — (2x + 3)(x — 1)}{(x — 1)(x + 3)} = \frac{12x + 4}{(x — 1)(x + 3)};
\]

Раскрытие скобок и упрощение:
\[
3x^2 + 7x — 6 — 2x^2 + 2x — 3x + 3 = 12x + 4;
\]

\[
x^2 + 6x — 3 = 12x + 4;
\]

\[
x^2 — 6x — 7 = 0.
\]

Дискриминант:
\[
D = 6^2 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64;
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{6 — 8}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7.
\]

Область определения:
\[
x — 1 \neq 0, \quad x \neq 1;
\]

\[
x + 3 \neq 0, \quad x \neq -3.
\]

Ответ: \(-1; 7.\)

б)
\[
\frac{5x — 1}{x + 7} + \frac{2x + 2}{x — 3} + \frac{63}{x^2 + 4x — 21} = 0;
\]

Приведение к общему знаменателю:
\[
\frac{5x — 1}{x + 7} + \frac{2x + 2}{x — 3} + \frac{63}{(x + 7)(x — 3)} = 0;
\]

Общий знаменатель: \((x + 7)(x — 3)\). Раскрытие скобок:
\[
(5x — 1)(x — 3) — (2x + 2)(x + 7) + 63 = 0;
\]

\[
5x^2 — 16x + 3 — 2x^2 — 14x — 2x — 14 + 63 = 0;
\]

\[
3x^2 — 32x + 52 = 0.
\]

Дискриминант:
\[
D = 32^2 — 4 \cdot 3 \cdot 52 = 1024 — 624 = 400;
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{32 — 20}{2 \cdot 3} = 2, \quad x_2 = \frac{32 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{26}{3} = 8 \frac{2}{3}.
\]

Область определения:
\[
x + 7 \neq 0, \quad x \neq -7;
\]

\[
x — 3 \neq 0, \quad x \neq 3.
\]

Ответ: \(2; 8 \frac{2}{3}.\)

в)
\[
\frac{x}{x^2 + 4x + 4} = \frac{4}{x^2 — 4} — \frac{16}{x^3 + 2x^2 — 4x — 8};
\]

Приведение к общему знаменателю:
\[
\frac{x}{(x + 2)^2} = \frac{4}{(x — 2)(x + 2)} — \frac{16}{(x — 2)(x + 2)^2};
\]

Общий знаменатель: \((x — 2)(x + 2)^2\). Упрощение:
\[
x(x — 2) = 4(x + 2) — 16;
\]

\[
x^2 — 2x = 4x + 8 — 16;
\]

\[
x^2 — 6x + 8 = 0.
\]

Дискриминант:
\[
D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4;
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4.
\]

Область определения:
\[
x + 2 \neq 0, \quad x \neq -2;
\]

\[
x — 2 \neq 0, \quad x \neq 2.
\]

Ответ: \(4.\)

Подробный ответ:

Задача (а)

Уравнение: \( \frac{3x — 2}{x — 1} — \frac{2x + 3}{x + 3} = \frac{12x + 4}{x^2 + 2x — 3} \)

Шаг 1: Приводим к общему знаменателю:

Общий знаменатель для всех трех дробей: \((x — 1)(x + 3)\).

Шаг 2: Раскрываем скобки и упрощаем числители:

\( (3x — 2)(x + 3) — (2x + 3)(x — 1) = 12x + 4 \)

Раскроем скобки:

\( 3x^2 + 9x — 2x — 6 — 2x^2 + 2x — 3x + 3 = 12x + 4 \)

Упростим выражение:

\( x^2 + 6x — 3 = 12x + 4 \)

Переносим все члены на одну сторону:

\( x^2 — 6x — 7 = 0 \)

Шаг 3: Находим дискриминант:

Для уравнения \( x^2 — 6x — 7 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \)

Шаг 4: Находим корни уравнения:

Корни уравнения вычисляются по формуле для квадратных уравнений:

\( x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 8}{2} = -1 \),

\( x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = 7 \)

Шаг 5: Область определения:

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \neq 1 \), \( x \neq -3 \). Таким образом, значения \( x = -1 \) и \( x = 7 \) допустимы.

Ответ: \( x = -1; 7 \)

Задача (б)

Уравнение: \( \frac{5x — 1}{x + 7} + \frac{2x + 2}{x — 3} + \frac{63}{x^2 + 4x — 21} = 0 \)

Шаг 1: Приводим к общему знаменателю:

Общий знаменатель: \((x + 7)(x — 3)\).

Шаг 2: Раскрываем скобки и упрощаем числители:

\( (5x — 1)(x — 3) — (2x + 2)(x + 7) + 63 = 0 \)

Раскроем скобки и упростим выражения:

\( 5x^2 — 15x — x + 3 — 2x^2 — 14x — 2x — 14 + 63 = 0 \)

\( 3x^2 — 32x + 52 = 0 \)

Шаг 3: Находим дискриминант:

Для уравнения \( 3x^2 — 32x + 52 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = (-32)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 52 = 1024 — 624 = 400 \)

Шаг 4: Находим корни уравнения:

Корни уравнения вычисляются по формуле для квадратных уравнений:

\( x_1 = \frac{-(-32) — \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{32 — 20}{6} = 2 \),

\( x_2 = \frac{-(-32) + \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{32 + 20}{6} = \frac{52}{6} = 8 \frac{2}{3} \)

Шаг 5: Область определения:

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \neq -7 \), \( x \neq 3 \). Таким образом, значения \( x = 2 \) и \( x = 8 \frac{2}{3} \) допустимы.

Ответ: \( x = 2; 8 \frac{2}{3} \)

Задача (в)

Уравнение: \( \frac{x}{x^2 + 4x + 4} = \frac{4}{x^2 — 4} — \frac{16}{x^3 + 2x^2 — 4x — 8} \)

Шаг 1: Приводим к общему знаменателю:

Общий знаменатель: \((x — 2)(x + 2)^2\).

Шаг 2: Раскрываем скобки и упрощаем:

\( x(x — 2) = 4(x + 2) — 16 \)

Раскроем скобки и упростим:

\( x^2 — 2x = 4x + 8 — 16 \)

\( x^2 — 6x + 8 = 0 \)

Шаг 3: Находим дискриминант:

Для уравнения \( x^2 — 6x + 8 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4 \)

Шаг 4: Находим корни уравнения:

Корни уравнения вычисляются по формуле для квадратных уравнений:

\( x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 2}{2} = 2 \),

\( x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4 \)

Шаг 5: Область определения:

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \neq -2 \), \( x \neq 2 \). Таким образом, \( x = 4 \) является допустимым решением.

Ответ: \( x = 4 \)



Общая оценка
4.9 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы
Как выбрать ГДЗ по математике

Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.