ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 291 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите корни уравнения:
а) \( \frac{3x — 2}{x — 1} — \frac{2x + 3}{x + 3} = \frac{12x + 4}{x^2 + 2x — 3} \);
б) \( \frac{5x — 1}{x + 7} — \frac{2x + 2}{x — 3} + \frac{63}{x^2 + 4x — 21} = 0 \);
в) \( \frac{x}{x^2 + 4x + 4} = -\frac{4}{x^2 — 4} — \frac{16}{x^3 + 2x^2 — 4x — 8} \).
a)
\[
\frac{3x — 2}{x — 1} — \frac{2x + 3}{x + 3} = \frac{12x + 4}{x^2 + 2x — 3};
\]
Приведение к общему знаменателю:
\[
\frac{(3x — 2)(x + 3) — (2x + 3)(x — 1)}{(x — 1)(x + 3)} = \frac{12x + 4}{(x — 1)(x + 3)};
\]
Раскрытие скобок и упрощение:
\[
3x^2 + 7x — 6 — 2x^2 + 2x — 3x + 3 = 12x + 4;
\]
\[
x^2 + 6x — 3 = 12x + 4;
\]
\[
x^2 — 6x — 7 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = 6^2 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64;
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{6 — 8}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7.
\]
Область определения:
\[
x — 1 \neq 0, \quad x \neq 1;
\]
\[
x + 3 \neq 0, \quad x \neq -3.
\]
Ответ: \(-1; 7.\)
б)
\[
\frac{5x — 1}{x + 7} + \frac{2x + 2}{x — 3} + \frac{63}{x^2 + 4x — 21} = 0;
\]
Приведение к общему знаменателю:
\[
\frac{5x — 1}{x + 7} + \frac{2x + 2}{x — 3} + \frac{63}{(x + 7)(x — 3)} = 0;
\]
Общий знаменатель: \((x + 7)(x — 3)\). Раскрытие скобок:
\[
(5x — 1)(x — 3) — (2x + 2)(x + 7) + 63 = 0;
\]
\[
5x^2 — 16x + 3 — 2x^2 — 14x — 2x — 14 + 63 = 0;
\]
\[
3x^2 — 32x + 52 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = 32^2 — 4 \cdot 3 \cdot 52 = 1024 — 624 = 400;
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{32 — 20}{2 \cdot 3} = 2, \quad x_2 = \frac{32 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{26}{3} = 8 \frac{2}{3}.
\]
Область определения:
\[
x + 7 \neq 0, \quad x \neq -7;
\]
\[
x — 3 \neq 0, \quad x \neq 3.
\]
Ответ: \(2; 8 \frac{2}{3}.\)
в)
\[
\frac{x}{x^2 + 4x + 4} = \frac{4}{x^2 — 4} — \frac{16}{x^3 + 2x^2 — 4x — 8};
\]
Приведение к общему знаменателю:
\[
\frac{x}{(x + 2)^2} = \frac{4}{(x — 2)(x + 2)} — \frac{16}{(x — 2)(x + 2)^2};
\]
Общий знаменатель: \((x — 2)(x + 2)^2\). Упрощение:
\[
x(x — 2) = 4(x + 2) — 16;
\]
\[
x^2 — 2x = 4x + 8 — 16;
\]
\[
x^2 — 6x + 8 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4;
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4.
\]
Область определения:
\[
x + 2 \neq 0, \quad x \neq -2;
\]
\[
x — 2 \neq 0, \quad x \neq 2.
\]
Ответ: \(4.\)
Задача (а)
Уравнение: \( \frac{3x — 2}{x — 1} — \frac{2x + 3}{x + 3} = \frac{12x + 4}{x^2 + 2x — 3} \)
Шаг 1: Приводим к общему знаменателю:
Общий знаменатель для всех трех дробей: \((x — 1)(x + 3)\).
Шаг 2: Раскрываем скобки и упрощаем числители:
\( (3x — 2)(x + 3) — (2x + 3)(x — 1) = 12x + 4 \)
Раскроем скобки:
\( 3x^2 + 9x — 2x — 6 — 2x^2 + 2x — 3x + 3 = 12x + 4 \)
Упростим выражение:
\( x^2 + 6x — 3 = 12x + 4 \)
Переносим все члены на одну сторону:
\( x^2 — 6x — 7 = 0 \)
Шаг 3: Находим дискриминант:
Для уравнения \( x^2 — 6x — 7 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:
\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \)
Шаг 4: Находим корни уравнения:
Корни уравнения вычисляются по формуле для квадратных уравнений:
\( x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 8}{2} = -1 \),
\( x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = 7 \)
Шаг 5: Область определения:
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \neq 1 \), \( x \neq -3 \). Таким образом, значения \( x = -1 \) и \( x = 7 \) допустимы.
Ответ: \( x = -1; 7 \)
Задача (б)
Уравнение: \( \frac{5x — 1}{x + 7} + \frac{2x + 2}{x — 3} + \frac{63}{x^2 + 4x — 21} = 0 \)
Шаг 1: Приводим к общему знаменателю:
Общий знаменатель: \((x + 7)(x — 3)\).
Шаг 2: Раскрываем скобки и упрощаем числители:
\( (5x — 1)(x — 3) — (2x + 2)(x + 7) + 63 = 0 \)
Раскроем скобки и упростим выражения:
\( 5x^2 — 15x — x + 3 — 2x^2 — 14x — 2x — 14 + 63 = 0 \)
\( 3x^2 — 32x + 52 = 0 \)
Шаг 3: Находим дискриминант:
Для уравнения \( 3x^2 — 32x + 52 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:
\( D = (-32)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 52 = 1024 — 624 = 400 \)
Шаг 4: Находим корни уравнения:
Корни уравнения вычисляются по формуле для квадратных уравнений:
\( x_1 = \frac{-(-32) — \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{32 — 20}{6} = 2 \),
\( x_2 = \frac{-(-32) + \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{32 + 20}{6} = \frac{52}{6} = 8 \frac{2}{3} \)
Шаг 5: Область определения:
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \neq -7 \), \( x \neq 3 \). Таким образом, значения \( x = 2 \) и \( x = 8 \frac{2}{3} \) допустимы.
Ответ: \( x = 2; 8 \frac{2}{3} \)
Задача (в)
Уравнение: \( \frac{x}{x^2 + 4x + 4} = \frac{4}{x^2 — 4} — \frac{16}{x^3 + 2x^2 — 4x — 8} \)
Шаг 1: Приводим к общему знаменателю:
Общий знаменатель: \((x — 2)(x + 2)^2\).
Шаг 2: Раскрываем скобки и упрощаем:
\( x(x — 2) = 4(x + 2) — 16 \)
Раскроем скобки и упростим:
\( x^2 — 2x = 4x + 8 — 16 \)
\( x^2 — 6x + 8 = 0 \)
Шаг 3: Находим дискриминант:
Для уравнения \( x^2 — 6x + 8 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:
\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4 \)
Шаг 4: Находим корни уравнения:
Корни уравнения вычисляются по формуле для квадратных уравнений:
\( x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 2}{2} = 2 \),
\( x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4 \)
Шаг 5: Область определения:
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \neq -2 \), \( x \neq 2 \). Таким образом, \( x = 4 \) является допустимым решением.
Ответ: \( x = 4 \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.