ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 290 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \( \frac{2}{x — 2} — \frac{10}{x + 3} = \frac{50}{x^2 + x — 6} — 1 \);

б) \( \frac{x + 5}{x — 1} + \frac{2x — 5}{x — 7} — \frac{30 — 12x}{8x — x^2 — 7} = 0 \).

Решить уравнение:

а) \( \frac{2}{x — 2} — \frac{10}{x + 3} = \frac{50}{x^2 + x — 6} — 1 \);

\( \frac{2}{x — 2} — \frac{10}{x + 3} = \frac{50}{(x — 2)(x + 3)} — 1 \);

\( 2(x + 3) — 10(x — 2) = 50 — (x — 2)(x + 3) \);

\( 2x + 6 — 10x + 20 = 50 — x^2 — 3x + 2x + 6 \);

\( 26 — 8x = 56 — x — x^2 \);

\( x^2 — 7x — 30 = 0 \);

\( D = 7^2 + 4 \cdot 30 = 49 + 120 = 169 \), тогда:

\( x_1 = \frac{7 — 13}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 13}{2} = 10 \);

Область определения:

\( x — 2 \neq 0, \; x \neq 2 \);

\( x + 3 \neq 0, \; x \neq -3 \);

Ответ: \( 10 \).

б) \( \frac{x + 5}{x — 1} + \frac{2x — 5}{x — 7} — \frac{30 — 12x}{8x — x^2 — 7} = 0 \);

\( \frac{x + 5}{x — 1} + \frac{2x — 5}{x — 7} + \frac{30 — 12x}{(x — 1)(x — 7)} = 0 \);

\( (x + 5)(x — 7) + (2x — 5)(x — 1) + 30 — 12x = 0 \);

\( x^2 — 2x — 35 + 2x^2 — 2x — 5x + 5 + 30 — 12x = 0 \);

\( 3x^2 — 21x = 0 \);

\( 3x(x — 7) = 0 \);

\( x_1 = 0, \; x_2 = 7 \);

Область определения:

\( x — 1 \neq 0, \; x \neq 1 \);

\( x — 7 \neq 0, \; x \neq 7 \);

Ответ: \( 0 \).

Задача (а)

Уравнение:

\[
\frac{2}{x-2} — \frac{10}{x+3} = \frac{50}{x^2 + x — 6} — 1
\]

Решение:

Приведем к общему знаменателю: \((x-2)(x+3)\).

Раскроем скобки и упростим:

\[
2(x+3) — 10(x-2) = 50 — (x-2)(x+3)
\]
\[
2x + 6 — 10x + 20 = 50 — x^2 — 3x + 2x + 6
\]

Соберем все в одно уравнение:

\[
x^2 — 7x — 30 = 0
\]

Вычислим дискриминант:

\[
D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169
\]

Найдем корни:

\[
x_1 = \frac{7 — \sqrt{169}}{2} = -3
\]
\[
x_2 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2} = 10
\]

Область определения:

\[
x \neq 2, x \neq -3
\]

Ответ:

x = 10

Задача (б)

Уравнение:

\[
\frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} = \frac{30-12x}{8x-x^2-7}
\]

Решение:

Приведем к общему знаменателю: \((x-1)(x-7)\).

Раскроем скобки и упростим:

\[
(x+5)(x-7) + (2x-5)(x-1) + 30 — 12x = 0
\]
\[
x^2 — 2x — 35 + 2x^2 — 2x — 5x + 5 + 30 — 12x = 0
\]

Соберем все в одно уравнение:

\[
3x^2 — 21x = 0
\]

Разложим на множители и найдем корни:

\[
3x(x — 7) = 0
\]
\[
x_1 = 0, \quad x_2 = 7
\]

Область определения:

\[
x \neq 1, x \neq 7
\]

Ответ:

x = 0