ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 288 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях а равно нулю значение дроби:

Решить уравнение:

а) \( \frac{a^3 — 9a}{a^2 + a — 12} = 0 \);

\( D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49 \), тогда:

\( a_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \);

\( \frac{a(a^2 — 9)}{(a + 4)(a — 3)} = 0 \);

\( \frac{(a + 3)a(a — 3)}{(a + 4)(a — 3)} = 0 \);

\( a_1 = -3, \; a_2 = 0 \);

Ответ: \( -3; 0 \).

б) \( \frac{a^8 + 2a^4}{a^3 + a + 10} = 0 \);

\( \frac{a^4(a^4 + 2)}{a^3 + a + 10} = 0 \);

\( \frac{a^4(a + 2)}{(a + 2) + (a + 2)(a^2 — 2a + 4)} = 0 \);

\( \frac{a(a + 2)}{(a + 2)(a^2 — 2a + 5)} = 0, \; a = 0 \);

Ответ: \( 0 \).

в) \( \frac{a^5 — 4a^4 + 4a^3}{a^4 — 16} = 0 \);

\( \frac{a^3(a^2 — 4a + 4)}{(a^2 + 4)(a + 2)(a — 2)} = 0 \);

\( \frac{a(a — 2)^2}{(a + 2)(a — 2)} = 0, \; a = 0 \);

Ответ: \( 0 \).

Задача (а)

Уравнение: \( \frac{a^3 — 9a}{a^2 + a — 12} = 0 \)

Шаг 1: Решаем числитель:

Для того, чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю. Таким образом, решаем уравнение числителя:

\( a^3 — 9a = 0 \)

Выносим общий множитель \(a\):

\( a(a^2 — 9) = 0 \)

\( a(a + 3)(a — 3) = 0 \)

Таким образом, \(a = 0\), \(a = -3\), \(a = 3\).

Шаг 2: Решаем знаменатель:

Теперь рассмотрим знаменатель, который не должен быть равен нулю:

\( a^2 + a — 12 \neq 0 \)

Решаем квадратное уравнение:

\( a^2 + a — 12 = 0 \)

Для нахождения корней используем дискриминант:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \)

Корни уравнения:

\( a_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \), \( a_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \)

Таким образом, \( a = -4 \) и \( a = 3 \) — это корни знаменателя, которые нужно исключить, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Шаг 3: Итоговое решение:

У нас есть корни числителя: \( a = -3 \), \( a = 0 \), но \( a = 3 \) нужно исключить, так как это корень знаменателя.

Ответ: \( a = -3 \), \( a = 0 \)

Задача (б)

Уравнение: \( \frac{a^8 + 2a^4}{a^3 + a + 10} = 0 \)

Шаг 1: Решаем числитель:

Для того, чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю. Решаем уравнение числителя:

\( a^8 + 2a^4 = 0 \)

Вынесем общий множитель \(a^4\):

\( a^4(a^4 + 2) = 0 \)

Таким образом, \( a^4 = 0 \) или \( a^4 + 2 = 0 \).

Решение \( a^4 = 0 \) даёт \( a = 0 \), а \( a^4 + 2 = 0 \) не имеет решений, так как \( a^4 \geq 0 \) для любого \(a\).

Шаг 2: Решаем знаменатель:

Теперь рассмотрим знаменатель, который не должен быть равен нулю:

\( a^3 + a + 10 \neq 0 \)

Для этого уравнения решение не требуется, так как оно не имеет простых корней, и нет значений \(a\), при которых знаменатель равен нулю при \(a = 0\).

Шаг 3: Итоговое решение:

Таким образом, единственным решением является \( a = 0 \).

Ответ: \( a = 0 \)

Задача (в)

Уравнение: \( \frac{a^5 — 4a^4 + 4a^3}{a^4 — 16} = 0 \)

Шаг 1: Решаем числитель:

Для того, чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю. Решаем уравнение числителя:

\( a^5 — 4a^4 + 4a^3 = 0 \)

Вынесем общий множитель \( a^3 \):

\( a^3(a^2 — 4a + 4) = 0 \)

Таким образом, \( a^3 = 0 \) или \( a^2 — 4a + 4 = 0 \).

Решение \( a^3 = 0 \) даёт \( a = 0 \), а уравнение \( a^2 — 4a + 4 = 0 \) можно решить как полный квадрат:

\( (a — 2)^2 = 0 \Rightarrow a = 2 \)

Шаг 2: Решаем знаменатель:

Теперь рассмотрим знаменатель, который не должен быть равен нулю:

\( a^4 — 16 = 0 \)

Это уравнение можно представить как разность квадратов:

\( (a^2 — 4)(a^2 + 4) = 0 \)

Таким образом, \( a^2 = 4 \) или \( a^2 = -4 \). Решение \( a^2 = -4 \) не имеет решений, а \( a^2 = 4 \) даёт \( a = \pm 2 \).

Шаг 3: Итоговое решение:

Таким образом, корни числителя \( a = 0 \) и \( a = 2 \), но \( a = 2 \) нужно исключить, так как это корень знаменателя.

Ответ: \( a = 0 \)