ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 279 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

a) \[x^4 — 25x^2 + 144 = 0\]

\[D = 25^2 — 4 \cdot 144 = 625 — 576 = 49\], тогда:

\[
x_1^2 = \frac{25 — 7}{2} = 9 \quad \text{и} \quad x_2^2 = \frac{25 + 7}{2} = 16;
\]

\[x_1 = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \pm \sqrt{16} = \pm 4;\]

Ответ: \(-4; -3; 3; 4.\)

б) \[y^4 + 14y^2 + 48 = 0\]
\[D = 14^2 — 4 \cdot 48 = 196 — 192 = 4\], тогда:

\[
y_1^2 = \frac{-14 — 2}{2} = -8 \quad \text{и} \quad y_2^2 = \frac{-14 + 2}{2} = -6;
\]

\[y_1 \in \emptyset \quad \text{и} \quad y_2 \in \emptyset;\]

Ответ корней нет.

в) \[x^4 — 4x^2 + 4 = 0\]

\[
(x^2 — 2)^2 = 0, \quad x^2 = 2;
\]

\[x_1 = -\sqrt{2}, \quad x_2 = \sqrt{2};\]

Ответ: \(-\sqrt{2}; \sqrt{2}.\)

г) \[t^4 — 2t^2 — 3 = 0\]

\[D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16\], тогда:

\[
t_1^2 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad t_2^2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\]

\[t_1 \in \emptyset \quad \text{и} \quad t_2 = \pm \sqrt{3};\]

Ответ: \(-\sqrt{3}; \sqrt{3}.\)

д) \[2x^4 — 9x^2 + 4 = 0\]

\[D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 — 32 = 49\], тогда:

\[
x_1^2 = \frac{9 — 7}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2^2 = \frac{9 + 7}{2} = 8;
\]

\[x_1 = \pm 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2};\]

Ответ: \(-2; -\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}; 2.\)

е) \[5y^4 — 5y^2 + 2 = 0\]

\[D = 5^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = -15;\]

\[D < 0, \quad \text{значит } y \in \emptyset;\]

Ответ: корней нет.

Задача (а)

Уравнение: \( x^4 — 25x^2 + 144 = 0 \)

Шаг 1: Применяем замену переменной:

Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение становится:

\( y^2 — 25y + 144 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( y^2 — 25y + 144 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = (-25)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 — 576 = 49 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения:

Корни уравнения \( y^2 — 25y + 144 = 0 \) вычисляются по формуле для квадратных уравнений:

\( y_1^2 = \frac{25 — 7}{2} = 9 \),

\( y_2^2 = \frac{25 + 7}{2} = 16 \)

Шаг 4: Рассматриваем оба значения \(y\):

Если \( y = 9 \), то:

Получаем уравнение \( x^2 = 9 \), следовательно, \( x = \pm 3 \).

Если \( y = 16 \), то:

Получаем уравнение \( x^2 = 16 \), следовательно, \( x = \pm 4 \).

Ответ: \( x = -4, -3, 3, 4 \)

Задача (б)

Уравнение: \( y^4 + 14y^2 + 48 = 0 \)

Шаг 1: Применяем замену переменной:

Пусть \( z = y^2 \), тогда уравнение становится:

\( z^2 + 14z + 48 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( z^2 + 14z + 48 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = 14^2 — 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 — 192 = 4 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения:

Корни уравнения \( z^2 + 14z + 48 = 0 \) вычисляются по формуле для квадратных уравнений:

\( z_1^2 = \frac{-14 — 2}{2} = -8 \),

\( z_2^2 = \frac{-14 + 2}{2} = -6 \)

Шаг 4: Рассматриваем оба значения \(z\):

Оба значения \( z_1 = -8 \) и \( z_2 = -6 \) приводят к отрицательным значениям для \( y^2 \), что невозможно, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: корней нет.

Задача (в)

Уравнение: \( x^4 — 4x^2 + 4 = 0 \)

Шаг 1: Применяем замену переменной:

Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение становится:

\( y^2 — 4y + 4 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( y^2 — 4y + 4 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 — 16 = 0 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения:

Корни уравнения \( y^2 — 4y + 4 = 0 \) вычисляются по формуле:

\( y = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2 \)

Шаг 4: Рассматриваем значение \(y = 2\):

Получаем уравнение \( x^2 = 2 \), следовательно, \( x = \pm \sqrt{2} \).

Ответ: \( x = -\sqrt{2}, \sqrt{2} \)

Задача (г)

Уравнение: \( t^4 — 2t^2 — 3 = 0 \)

Шаг 1: Применяем замену переменной:

Пусть \( z = t^2 \), тогда уравнение становится:

\( z^2 — 2z — 3 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( z^2 — 2z — 3 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения:

Корни уравнения \( z^2 — 2z — 3 = 0 \) вычисляются по формуле:

\( z_1^2 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \),

\( z_2^2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)

Шаг 4: Рассматриваем оба значения \(z\):

Если \( z = -1 \), то:

Получаем уравнение \( t^2 = -1 \), которое не имеет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Если \( z = 3 \), то:

Получаем уравнение \( t^2 = 3 \), следовательно, \( t = \pm \sqrt{3} \).

Ответ: \( t = -\sqrt{3}, \sqrt{3} \)

Задача (д)

Уравнение: \( 2x^4 — 9x^2 + 4 = 0 \)

Шаг 1: Применяем замену переменной:

Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение становится:

\( 2y^2 — 9y + 4 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( 2y^2 — 9y + 4 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = (-9)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 — 32 = 49 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения:

Корни уравнения \( 2y^2 — 9y + 4 = 0 \) вычисляются по формуле:

\( y_1^2 = \frac{9 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \),

\( y_2^2 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 2} = 4 \)

Шаг 4: Рассматриваем оба значения \(y\):

Если \( y = \frac{1}{4} \), то:

Получаем уравнение \( x^2 = \frac{1}{4} \), следовательно, \( x = \pm \frac{1}{2} \).

Если \( y = 4 \), то:

Получаем уравнение \( x^2 = 4 \), следовательно, \( x = \pm 2 \).

Ответ: \( x = -2, -0.5, 0.5, 2 \)

Задача (е)

Уравнение: \( 5y^4 — 5y^2 + 2 = 0 \)

Шаг 1: Применяем замену переменной:

Пусть \( z = y^2 \), тогда уравнение становится:

\( 5z^2 — 5z + 2 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( 5z^2 — 5z + 2 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 25 — 40 = -15 \)

Шаг 3: Рассматриваем дискриминант:

Так как дискриминант отрицателен, решения для \(z\) нет.

Ответ: корней нет.