ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 278 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

a)
\[x^4 — 5x^2 — 36 = 0\]

Дискриминант: \[D = 5^2 + 4 \cdot 36 = 25 + 144 = 169\]

Корни:
\[
x_1^2 = \frac{5 — 13}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2^2 = \frac{5 + 13}{2} = 9
\]

Решение:
\[x_1 \in \emptyset \quad \text{и} \quad x_2 = \pm \sqrt{9} = \pm 3\]

Ответ: \(-3; 3\).

б)
\[y^4 — 6y^2 + 8 = 0\]

Дискриминант: \[D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4\]

Корни:
\[
y_1^2 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2^2 = \frac{6 + 2}{2} = 4
\]

Решение:
\[y_1 = \pm \sqrt{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \pm \sqrt{4} = \pm 2\]

Ответ: \(-2; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; 2\).

в)
\[t^4 + 10t^2 + 25 = 0\]

\((t^2 + 5)^2 = 0\), следовательно, \(t^2 + 5 = 0\), но \(t^2 = -5\), следовательно, корней нет.

Ответ: корней нет.

г)
\[4x^4 — 5x^2 + 1 = 0\]

Дискриминант: \[D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9\]

Корни:
\[
x_1^2 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4} \quad \text{и} \quad x_2^2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = 1
\]

Решение:
\[x_1 = \pm \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \pm 1\]

Ответ: \(-1; -0.5; 0.5; 1\).

д)
\[9x^4 — 9x^2 + 2 = 0\]

Дискриминант: \[D = 9^2 — 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 — 72 = 9\]

Корни:
\[
x_1^2 = \frac{9 — 3}{2 \cdot 9} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x_2^2 = \frac{9 + 3}{2 \cdot 9} = \frac{2}{3}
\]

Решение:
\[x_1 = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} \quad \text{и} \quad x_2 = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}\]

Ответ: \(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}; -\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).

е)
\[16y^4 — 8y^2 + 1 = 0\]

\((4y^2 — 1)^2 = 0\), следовательно, \(4y^2 = 1\)

Корни:
\[y^2 = \frac{1}{4}, \quad y = \pm \frac{1}{2} = \pm 0.5\]

Ответ: \(-0.5; 0.5\).

Задача (а)

Уравнение: \( x^4 — 5x^2 — 36 = 0 \)

Шаг 1: Применяем замену переменной:

Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение становится:

\( y^2 — 5y — 36 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( y^2 — 5y — 36 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения:

Корни уравнения \( y^2 — 5y — 36 = 0 \) вычисляются по формуле для квадратных уравнений:

\( y_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 13}{2} = -4 \),

\( y_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 13}{2} = 9 \)

Шаг 4: Рассматриваем оба значения \(y\):

Если \( y = -4 \), то:

Получаем уравнение \( x^2 = -4 \), которое не имеет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, решений нет.

Если \( y = 9 \), то:

Получаем уравнение \( x^2 = 9 \), следовательно, \( x = \pm 3 \).

Ответ: \( x = -3, 3 \)

Задача (б)

Уравнение: \( y^4 — 6y^2 + 8 = 0 \)

Шаг 1: Применяем замену переменной:

Пусть \( z = y^2 \), тогда уравнение становится:

\( z^2 — 6z + 8 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( z^2 — 6z + 8 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения:

Корни уравнения \( z^2 — 6z + 8 = 0 \) вычисляются по формуле:

\( z_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 2}{2} = 2 \),

\( z_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4 \)

Шаг 4: Рассматриваем оба значения \(z\):

Если \( z = 2 \), то:

Получаем уравнение \( y^2 = 2 \), следовательно, \( y = \pm \sqrt{2} \).

Если \( z = 4 \), то:

Получаем уравнение \( y^2 = 4 \), следовательно, \( y = \pm 2 \).

Ответ: \( y = -2, -\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2 \)

Задача (в)

Уравнение: \( t^4 + 10t^2 + 25 = 0 \)

Шаг 1: Применяем замену переменной:

Пусть \( z = t^2 \), тогда уравнение становится:

\( z^2 + 10z + 25 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( z^2 + 10z + 25 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 — 100 = 0 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения:

Корни уравнения \( z^2 + 10z + 25 = 0 \) вычисляются по формуле:

\( z = \frac{-10}{2} = -5 \)

Шаг 4: Рассматриваем значение \(z = -5\):

Получаем уравнение \( t^2 = -5 \), которое не имеет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: Корней нет.

Задача (г)

Уравнение: \( 4x^4 — 5x^2 + 1 = 0 \)

Шаг 1: Применяем замену переменной:

Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение становится:

\( 4y^2 — 5y + 1 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( 4y^2 — 5y + 1 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 — 16 = 9 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения:

Корни уравнения \( 4y^2 — 5y + 1 = 0 \) вычисляются по формуле:

\( y_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 — 3}{8} = \frac{1}{4} \),

\( y_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = 1 \)

Шаг 4: Рассматриваем оба значения \(y\):

Если \( y = \frac{1}{4} \), то:

Получаем уравнение \( x^2 = \frac{1}{4} \), следовательно, \( x = \pm \frac{1}{2} \).

Если \( y = 1 \), то:

Получаем уравнение \( x^2 = 1 \), следовательно, \( x = \pm 1 \).

Ответ: \( x = -1, -0.5, 0.5, 1 \)

Задача (д)

Уравнение: \( 9x^4 — 9x^2 + 2 = 0 \)

Шаг 1: Применяем замену переменной:

Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение становится:

\( 9y^2 — 9y + 2 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( 9y^2 — 9y + 2 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = (-9)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 — 72 = 9 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения:

Корни уравнения \( 9y^2 — 9y + 2 = 0 \) вычисляются по формуле:

\( y_1 = \frac{-(-9) — \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 — 3}{18} = \frac{1}{3} \),

\( y_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 + 3}{18} = \frac{2}{3} \)

Шаг 4: Рассматриваем оба значения \(y\):

Если \( y = \frac{1}{3} \), то:

Получаем уравнение \( x^2 = \frac{1}{3} \), следовательно, \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Если \( y = \frac{2}{3} \), то:

Получаем уравнение \( x^2 = \frac{2}{3} \), следовательно, \( x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \).

Ответ: \( x = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)

Задача (е)

Уравнение: \( 16y^4 — 8y^2 + 1 = 0 \)

Шаг 1: Применяем замену переменной:

Пусть \( z = y^2 \), тогда уравнение становится:

\( 16z^2 — 8z + 1 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( 16z^2 — 8z + 1 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = (-8)^2 — 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 — 64 = 0 \)

Шаг 3: Находим корни уравнения:

Корни уравнения \( 16z^2 — 8z + 1 = 0 \) вычисляются по формуле:

\( z = \frac{-(-8)}{2 \cdot 16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \)

Шаг 4: Рассматриваем значение \(z = \frac{1}{4}\):

Получаем уравнение \( y^2 = \frac{1}{4} \), следовательно, \( y = \pm \frac{1}{2} \).

Ответ: \( y = -0.5, 0.5 \)