ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 277 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача (a)
\[
(x^2 + 3)^2 — 11(x^2 + 3) + 28 = 0
\]
Пусть \(y = x^2 + 3\), тогда:
\[
y^2 — 11y + 28 = 0
\]
Дискриминант:
\[
D = 11^2 — 4 \cdot 28 = 121 — 112 = 9
\]
Корни:
\[
y_1 = \frac{11 — 3}{2} = 4, \quad y_2 = \frac{11 + 3}{2} = 7
\]
Рассмотрим оба значения \(y\):
1. \(x^2 + 3 = 4 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\)
2. \(x^2 + 3 = 7 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\)

Ответ: \(x = -2, -1, 1, 2\).

Задача (б)
\[
(x^2 — 4x)^2 + 9(x^2 — 4x) + 20 = 0
\]
Пусть \(y = x^2 — 4x\), тогда:
\[
y^2 + 9y + 20 = 0
\]
Дискриминант:
\[
D = 9^2 — 4 \cdot 20 = 81 — 80 = 1
\]
Корни:
\[
y_1 = \frac{-9 — 1}{2} = -5, \quad y_2 = \frac{-9 + 1}{2} = -4
\]
Рассмотрим оба значения \(y\):
1. \(x^2 — 4x = -5\): Дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), решений нет.
2. \(x^2 — 4x = -4 \Rightarrow (x — 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2\).

Ответ: \(x = 2\).

Задача (в)
\[
(x^2 + x)(x^2 + x — 5) = 84
\]
Пусть \(y = x^2 + x\), тогда:
\[
y(y — 5) = 84 \Rightarrow y^2 — 5y — 84 = 0
\]
Дискриминант:
\[
D = (-5)^2 — 4 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361
\]
Корни:
\[
y_1 = \frac{-5 — 19}{2} = -7, \quad y_2 = \frac{-5 + 19}{2} = 12
\]
Рассмотрим оба значения \(y\):
1. \(x^2 + x = -7\): Дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), решений нет.
2. \(x^2 + x = 12 \Rightarrow x^2 + x — 12 = 0\). Дискриминант:
\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3
\]

Ответ: \(x = -4, 3\).

Задача (а)

У нас есть уравнение:

\( (x^2 + 3)^2 — 11(x^2 + 3) + 28 = 0 \)

Шаг 1: Подставляем замену переменной:

Пусть \( y = x^2 + 3 \), тогда уравнение становится:

\( y^2 — 11y + 28 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( y^2 — 11y + 28 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -11 \), \( c = 28 \).

Подставим значения: \( D = (-11)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 — 112 = 9 \).

Шаг 3: Находим корни уравнения:

Теперь находим корни уравнения \( y^2 — 11y + 28 = 0 \), используя формулу для корней квадратного уравнения:

\( y_1 = \frac{-(-11) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{11 — 3}{2} = 4 \),

\( y_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 3}{2} = 7 \).

Шаг 4: Рассматриваем оба значения \(y\):

Если \( y = 4 \), то:

Из \( x^2 + 3 = 4 \) получаем \( x^2 = 1 \), следовательно, \( x = \pm 1 \).

Если \( y = 7 \), то:

Из \( x^2 + 3 = 7 \) получаем \( x^2 = 4 \), следовательно, \( x = \pm 2 \).

Ответ: \( x = -2, -1, 1, 2 \)

Задача (б)

У нас есть уравнение:

\( (x^2 — 4x)^2 + 9(x^2 — 4x) + 20 = 0 \)

Шаг 1: Подставляем замену переменной:

Пусть \( y = x^2 — 4x \), тогда уравнение становится:

\( y^2 + 9y + 20 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( y^2 + 9y + 20 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 9 \), \( c = 20 \).

Подставим значения: \( D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 — 80 = 1 \).

Шаг 3: Находим корни уравнения:

Корни уравнения \( y^2 + 9y + 20 = 0 \) вычисляются по формуле для квадратных уравнений:

\( y_1 = \frac{-9 — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 — 1}{2} = -5 \),

\( y_2 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 1}{2} = -4 \).

Шаг 4: Рассматриваем оба значения \(y\):

Если \( y = -5 \), то:

Получаем уравнение \( x^2 — 4x = -5 \), которое имеет отрицательный дискриминант:

Дискриминант \( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 — 20 = -4 \), который отрицателен, следовательно, решений нет.

Если \( y = -4 \), то:

Получаем уравнение \( x^2 — 4x = -4 \Rightarrow (x — 2)^2 = 0 \), что даёт \( x = 2 \).

Ответ: \( x = 2 \)

Задача (в)

У нас есть уравнение:

\( (x^2 + x)(x^2 + x — 5) = 84 \)

Шаг 1: Подставляем замену переменной:

Пусть \( y = x^2 + x \), тогда уравнение становится:

\( y(y — 5) = 84 \Rightarrow y^2 — 5y — 84 = 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант:

Для квадратного уравнения \( y^2 — 5y — 84 = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361 \).

Шаг 3: Находим корни уравнения:

Корни уравнения \( y^2 — 5y — 84 = 0 \) вычисляются по формуле для квадратных уравнений:

\( y_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 19}{2} = -7 \),

\( y_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 19}{2} = 12 \).

Шаг 4: Рассматриваем оба значения \(y\):

Если \( y = -7 \), то:

Получаем уравнение \( x^2 + x = -7 \), для которого дискриминант \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 — 28 = -27 \), который отрицателен, следовательно, решений нет.

Если \( y = 12 \), то:

Получаем уравнение \( x^2 + x = 12 \Rightarrow x^2 + x — 12 = 0 \).

Шаг 5: Находим дискриминант уравнения:

Для уравнения \( x^2 + x — 12 = 0 \) дискриминант равен:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \).

Шаг 6: Находим корни уравнения:

Корни уравнения \( x^2 + x — 12 = 0 \) вычисляются:

\( x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4, \, x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \)

Ответ: \( x = -4, 3 \)