ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 91 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Постройте график функции у = -2х2 и найдите:

а) значение у при х = -1,5; 0,6; 1,5;

б) значения х, при которых у = — 1; -3; -4,5;

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

\[
y = -2x^2, \quad x^2 = -\frac{y}{2}, \quad x = \pm \sqrt{-\frac{y}{2}};
\]

а) Найдем значения функции:

\[ y(-1,5) = -2 \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = -2 \cdot \frac{9}{4} = -4,5; \]

\[ y(0,6) = -2 \left(\frac{3}{5}\right)^2 = -2 \cdot \frac{9}{25} = -0,72; \]

\[ y(1,5) = -2 \left(\frac{3}{2}\right)^2 = -2 \cdot \frac{9}{4} = -4,5; \]

б) Значения аргумента:

\[ y = -1 \text{ при } x = \pm \sqrt{0,5}; \]

\[ y = -3 \text{ при } x = \pm \sqrt{1,5}; \]

\[ y = -4,5 \text{ при } x = \pm \frac{9}{2}; \]

в) Промежутки монотонности:

Возрастает на промежутке \((-∞; 0]\);

Убывает на промежутке \([0; +∞)\).

а) Найдём значения функции \(y = -2x^2\) при заданных \(x\):

Вычислим \(y\) при \(x = -1{,}5\):

Сначала запишем \(x\) в виде дроби: \(x = -1{,}5 = -\frac{3}{2}\).

Вычислим квадрат: \((-\frac{3}{2})^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}\).

Умножаем на \(-2\):
\(y = -2 \times \frac{9}{4} = -\frac{18}{4} = -4{,}5\).

Ответ: \(y(-1{,}5) = -4{,}5\)

Вычислим \(y\) при \(x = 0{,}6\):

Запишем \(x\) в виде дроби: \(x = 0{,}6 = \frac{3}{5}\).

Квадрат числа: \((\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}\).

Умножаем на \(-2\):
\(y = -2 \times \frac{9}{25} = -\frac{18}{25} = -0{,}72\).

Ответ: \(y(0{,}6) = -0{,}72\)

Вычислим \(y\) при \(x = 1{,}5\):

Запишем \(x\) в виде дроби: \(x = 1{,}5 = \frac{3}{2}\).

Квадрат числа: \((\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}\).

Умножаем на \(-2\):
\(y = -2 \times \frac{9}{4} = -\frac{18}{4} = -4{,}5\).

Ответ: \(y(1{,}5) = -4{,}5\)

б) Найдём значения аргумента \(x\) для заданных значений функции:

Функция: $y = -2x^2$

Для \(y = -1\):

Запишем уравнение: \(-2x^2 = -1\).

Разделим обе части на \(-2\):
\(x^2 = \frac{-1}{-2} = 0{,}5\).

Найдём \(x\):
\(x = \pm\sqrt{0{,}5}\).

Ответ: \(x = \pm\sqrt{0{,}5}\)

Для \(y = -3\):

Запишем уравнение: \(-2x^2 = -3\).

Разделим обе части на \(-2\):
\(x^2 = \frac{-3}{-2} = 1{,}5\).

Найдём \(x\):
\(x = \pm\sqrt{1{,}5}\).

Ответ: \(x = \pm\sqrt{1{,}5}\)

Для \(y = -4{,}5\):

Запишем уравнение: \(-2x^2 = -4{,}5\).

Разделим обе части на \(-2\):
\(x^2 = \frac{-4{,}5}{-2} = 2{,}25\).

Найдём \(x\):
\(x = \pm\sqrt{2{,}25} = \pm1{,}5\).

Ответ: \(x = \pm1{,}5\)

в) Промежутки монотонности функции \(y = -2x^2\):

Функция квадратичная, ветви направлены вниз (коэффициент при \(x^2\) — отрицательный).

Исследуем производную: \(y’ = -4x\)

При \(x < 0\): \(y’ = -4x > 0\) — функция возрастает.

При \(x > 0\): \(y’ = -4x < 0\) — функция убывает.

Вершина параболы — в точке \(x = 0\), здесь функция достигает максимума.

Итого:

Функция возрастает на \((-\infty;\; 0]\).

Функция убывает на \([0;\;+\infty)\).