ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 87 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а)
\[
\frac{x^2 — 1}{2} — 11x = 11;
\]

\[
x^2 — 1 — 22x = 22;
\]

\[
x^2 — 22x — 23 = 0;
\]

\[
D = 22^2 + 4 \cdot 23 = 484 + 92 = 576, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{22 — 24}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{22 + 24}{2} = 23;
\]

Ответ: -1; 23.

б)
\[
\frac{x^2 + x}{2} = \frac{8x — 7}{3};
\]

\[
3(x^2 + x) = 2(8x — 7);
\]

\[
3x^2 + 3x = 16x — 14;
\]

\[
3x^2 — 13x + 14 = 0;
\]

\[
D = 13^2 — 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 — 168 = 1, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{13 + 1}{2 \cdot 3} = 2, \quad x_2 = \frac{13 — 1}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2;
\]

Ответ: 2; \(2\frac{1}{3}\).

в)
\[
x — 3 = \frac{1 — x^2}{3};
\]

\[
3(x — 3) = 1 — x^2;
\]

\[
3x — 9 = 1 — x^2;
\]

\[
x^2 + 3x — 10 = 0;
\]

\[
D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2;
\]

Ответ: -5; 2.

г)
\[
\frac{2 — x^2}{7} = \frac{x}{2};
\]

\[
2(2 — x^2) = 7x;
\]

\[
4 — 2x^2 = 7x;
\]

\[
2x^2 + 7x — 4 = 0;
\]

\[
D = 7^2 + 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 + 32 = 81, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-7 — 9}{2 \cdot 2} = -4, \quad x_2 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = 0.5;
\]

Ответ: -4; 0.5.

а) Решим уравнение \(\frac{x^2 — 1}{2} — 11x = 11\):

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби. Умножение на 2 не изменяет знак неравенства, так как 2 положительное число:
\[
2 \cdot \left(\frac{x^2 — 1}{2}\right) — 2 \cdot (11x) = 2 \cdot 11
\]

Получаем:
\[
x^2 — 1 — 22x = 22
\]

Шаг 2: Переносим все элементы в одну сторону. Для этого добавим 1 к обеим частям:
\[
x^2 — 22x = 23
\]

Затем переносим 23 в правую часть:
\[
x^2 — 22x — 23 = 0
\]

Шаг 3: Теперь у нас стандартное квадратное уравнение. Находим дискриминант:
\[
D = (-22)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576
\]

Дискриминант положительный, следовательно, у уравнения есть два корня.

Шаг 4: Находим корни уравнения по формуле:
\[
x_1 = \frac{-(-22) — \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{22 — 24}{2} = -1
\]

и

\[
x_2 = \frac{-(-22) + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{22 + 24}{2} = 23
\]

Ответ: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 23\).

б) Решим уравнение \(\frac{x^2 + x}{2} = \frac{8x — 7}{3}\):

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей. 6 — наименьшее общее кратное 2 и 3:
\[
6 \cdot \left(\frac{x^2 + x}{2}\right) = 6 \cdot \left(\frac{8x — 7}{3}\right)
\]

Получаем:

\[
3(x^2 + x) = 2(8x — 7)
\]

Шаг 2: Раскрываем скобки:
\[
3x^2 + 3x = 16x — 14
\]

Шаг 3: Переносим все элементы на одну сторону:
\[
3x^2 + 3x — 16x + 14 = 0
\]

Сгруппируем:
\[
3x^2 — 13x + 14 = 0
\]

Шаг 4: Находим дискриминант:
\[
D = (-13)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 — 168 = 1
\]

Дискриминант равен 1, что означает, что у уравнения есть два корня.

Шаг 5: Находим корни уравнения с помощью формулы:
\[
x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 1}{6} = \frac{14}{6} = 2
\]

и

\[
x_2 = \frac{-(-13) — \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{13 — 1}{6} = \frac{12}{6} = 2
\]
Заметим, что оба корня одинаковые.

Ответ: 2; \(2\frac{1}{3}\).

в) Решим уравнение \(x — 3 = \frac{1 — x^2}{3}\):

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:
\[
3(x — 3) = 1 — x^2
\]

Получаем:

\[
3x — 9 = 1 — x^2
\]

Шаг 2: Переносим все элементы на одну сторону:
\[
3x — 9 — 1 + x^2 = 0
\]

Упрощаем:

\[
x^2 + 3x — 10 = 0
\]

Шаг 3: Находим дискриминант:
\[
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49
\]

Дискриминант положительный, у уравнения есть два корня.

Шаг 4: Находим корни уравнения по формуле:
\[
x_1 = \frac{-3 — \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 — 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5
\]

и

\[
x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2
\]

Ответ: \(x_1 = -5\), \(x_2 = 2\).

г) Решим уравнение \(\frac{2 — x^2}{7} = \frac{x}{2}\):

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на 14 (наименьшее общее кратное 7 и 2), чтобы избавиться от дробей:
\[
14 \cdot \left(\frac{2 — x^2}{7}\right) = 14 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)
\]

Получаем:

\[
2(2 — x^2) = 7x
\]

Шаг 2: Раскрываем скобки:
\[
4 — 2x^2 = 7x
\]

Шаг 3: Переносим все элементы на одну сторону:
\[
2x^2 + 7x — 4 = 0
\]

Шаг 4: Находим дискриминант:
\[
D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81
\]
Дискриминант положительный, у уравнения есть два корня.

Шаг 5: Находим корни уравнения по формуле:
\[
x_1 = \frac{-7 — \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 — 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4
\]

и

\[
x_2 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = 0.5
\]

Ответ: \(x_1 = -4\), \(x_2 = 0.5\).