ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 70 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

(Задача-исследование.) Выясните, какой из прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, имеет наибольшую площадь. Вычислите эту площадь.

1) Обозначьте длину одного из катетов через х см и составьте выражение для вычисления площади треугольника.

2) Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение.

3) Вычислите, чему равно значение площади треугольника при указанных значениях переменной.

1. Пусть один катет равен x см:
(6 — x) см — равен второй катет
S = x(6 — x) / 2 см² — равна площадь

2. Наибольшее значение:
S = 6x — x²
S = (x² — 6x + 9 — 9) / 2
S = (x — 3)² — 9 / 2
S = 4.5 — (x — 3)²

Решая уравнение x — 3 = 0, получаем:
x = 3
6 — x = 3

3. Значение площади:
S(3) = 4.5 > 0² = 4.5

Ответ: с катетами 3 см; площадь 4.5 см².

1. Пусть один катет равен \(x\) см:

Предположим, что один из катетов прямоугольного треугольника равен \( x \) см. Поскольку гипотенуза в данном случае фиксирована (площадь зависит только от катетов), второй катет будет равен \( (6 — x) \) см. Здесь мы используем информацию, что сумма катетов равна 6 см.

Теперь определим площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:

\( S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2 \)

Заменяем катеты на \(x\) и \(6 — x\), получаем:

\( S = \frac{x(6 — x)}{2} \) см².

Это выражение для площади треугольника, где один катет равен \(x\) см, а второй катет — \(6 — x\) см.

2. Наибольшее значение площади:

Теперь преобразуем выражение для площади, чтобы найти, при каком значении \(x\) площадь будет максимальной. Упростим выражение:

\( S = 6x — x^2 \)

Для удобства дальнейших вычислений, перепишем выражение для площади в виде полного квадрата. Для этого нужно добавить и вычесть число, которое позволит привести выражение к виду полного квадрата:

\( S = \frac{(x^2 — 6x + 9 — 9)}{2} \)

Здесь мы добавили \( 9 \) и сразу же вычли его, чтобы сохранить эквивалентность. Теперь у нас можно выделить полный квадрат:

\( S = \frac{(x — 3)^2 — 9}{2} \)

Преобразуем дальше:

\( S = 4.5 — \frac{(x — 3)^2}{2} \)

Шаг 1: Чтобы площадь была максимальной, нам нужно минимизировать выражение \( (x — 3)^2 \), так как оно вычитается из 4.5. Минимальное значение \( (x — 3)^2 \) равно 0, когда \( x — 3 = 0 \).

Следовательно, наибольшая площадь будет при \( x = 3 \).

Подставляем \( x = 3 \) в формулу для второго катета:

\( 6 — x = 3 \)

Таким образом, оба катета равны 3 см.

3. Значение площади при \( x = 3 \):

Теперь подставим \( x = 3 \) в выражение для площади:

\( S(3) = 4.5 — \frac{(3 — 3)^2}{2} = 4.5 — \frac{0}{2} = 4.5 \)

Получаем, что площадь равна 4.5 см², когда оба катета равны 3 см.

Ответ: Катеты равны 3 см, площадь треугольника — 4.5 см².