ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 69 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Дан квадратный трёхчлен 1×2/3 + 3x+4. Выясните, при каком значении х он принимает наименьшее значение и чему равно это значение трёхчлена.

Преобразуем трехчлен:
\[
y = \frac{1}{3}x^2 + 2x + 4 = \frac{1}{3}(x^2 + 6x + 12);
\]

\[
y = \frac{1}{3} \cdot (x^2 + 6x + 9) + \frac{1}{3} \cdot (12 — 9);
\]

\[
y = \frac{1}{3}(x + 3)^2 + \frac{1}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3}(x + 3)^2 + 1.
\]

Наименьшее значение:
\[
y = \frac{1}{3}(x + 3)^2 + 1 \geq 1;
\]

\[
x + 3 = 0, \, x = -3;
\]

Ответ: \( y = 1 \) при \( x = -3 \).

Исходное выражение:
\(
y = \frac{1}{3}x^2 + 2x + 4
\)

Это квадратный трёхчлен, коэффициенты: при \(x^2\) — \(\frac{1}{3}\), при \(x\) — \(2\), свободный член — \(4\).

Приведём выражение к удобной форме для выделения квадрата:
Для этого сначала вынесем \(\frac{1}{3}\) за скобки у квадратичного и линейного слагаемых:
\(
y = \frac{1}{3}x^2 + 2x + 4 = \frac{1}{3}(x^2 + 6x) + 4
\)

Почему так? Потому что \(2x = \frac{1}{3} \cdot 6x\), значит, \(2x\) можно внести внутрь скобок: \(\frac{1}{3}(x^2 + 6x)\).

Теперь добавим и вычтем одно и то же число внутри скобок, чтобы получить полный квадрат:
Полный квадрат для выражения \(x^2 + 6x\) — это \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\).
Поэтому:

\(
x^2 + 6x + 12 = (x^2 + 6x + 9) + 3 = (x + 3)^2 + 3
\)

Получаем:

\(
y = \frac{1}{3}(x^2 + 6x + 12) = \frac{1}{3}((x + 3)^2 + 3)
\)

Раскроем скобки:
\(
y = \frac{1}{3}(x + 3)^2 + \frac{1}{3} \cdot 3
\)

\(
\frac{1}{3} \cdot 3 = 1
\)

Значит:

\(
y = \frac{1}{3}(x + 3)^2 + 1
\)

Исследуем наименьшее значение функции:
\(
(x + 3)^2 \geq 0
\)

Значит, наименьшее значение \(y\) достигается при \( (x + 3)^2 = 0 \), то есть при \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \).

Подставляем \( x = -3 \) в выражение:

\(
y = \frac{1}{3} \cdot 0 + 1 = 1
\)

Следовательно, минимальное значение функции: \( y_{\text{min}} = 1 \) при \( x = -3 \).

Пояснения по каждому шагу:

Выделение полного квадрата позволяет упростить анализ функции, а также сразу получить вершину параболы.

Квадрат любого выражения не может быть меньше нуля, отсюда видно, что самое маленькое значение функции — это то, что «осталось» после выделения квадрата, то есть \(+1\).

Подстановка найденного значения \(x\) в исходную формулу подтверждает расчёты.