ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 66 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении х квадратный трёхчлен:

а) х^2 — 6х + 10 принимает положительное значение;

б) 5х^2 — 10х + 5 принимает неотрицательное значение;

в) -х^2 + 20х — 100 принимает неположительное значение;

г) -2х^2 + 16х — 33 принимает отрицательное значение;

д) х^2 — 0,32х + 0,0256 принимает неотрицательное значение;

е) 4х^2 + 0,8х + 2 принимает положительное значение.

1) Обсудите, какие преобразования трёхчленов надо выполнить для доказательства высказанных утверждений

2) Распределите, кто выполняет задания а), в) и д), а кто — задания б), г) и е), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность проведённых доказательств и исправьте ошибки, если они допущены.

a) x² — 6x + 10 > 0;
x² — 6x + 9 + 1 > 0;
(x — 3)² + 1 > 0;
Неравенство доказано.

б) 5x² — 10x + 5 ≥ 0;
x² — 2x + 1 ≥ 0;
(x — 1)² ≥ 0;
Неравенство доказано.

в) -x² + 20x — 100 ≤ 0;
x² — 20x + 100 ≥ 0;
(x — 10)² ≥ 0;
Неравенство доказано.

г) -2x² + 16x — 33 < 0;
2x² — 16x + 33 > 0;
2(x² — 8x + 16) + 1 > 0;
2(x — 4)² + 1 > 0;
Неравенство доказано.

д) x² — 0,32x + 0,0256 ≥ 0;
x² — (32/100)x + (256/10 000) ≥ 0;
x² — (8/25)x + (16/625) ≥ 0;
(x — 4/25)² ≥ 0;
Неравенство доказано.

е) 4x² + 0,8x + 2 > 0;
x² + 0,2x + 0,5 > 0;
x² + 0,2x + 0,01 + 0,49 > 0;
(x + 0,1)² + 0,49 > 0;
Неравенство доказано.

1) Для доказательства высказанных утверждений требуется выделить квадрат двучлена из данного трехчлена, что позволит доказать неравенство;

а) Решим неравенство \(x^2 — 6x + 10 > 0\):

Запишем неравенство:
\[
x^2 — 6x + 10 > 0
\]

Шаг 1: Представим выражение в виде полного квадрата:
\[
x^2 — 6x + 9 + 1 > 0
\]

Обратите внимание, что \(x^2 — 6x + 9\) можно записать как \((x — 3)^2\), так как \((x — 3)^2 = x^2 — 6x + 9\).

Шаг 2: Получаем:
\[
(x — 3)^2 + 1 > 0
\]

Шаг 3: Заметим, что \((x — 3)^2 \geq 0\) для всех \(x\), а также \(1 > 0\). Сложение двух положительных выражений даёт положительное число, следовательно, неравенство всегда выполняется.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Решим неравенство \(5x^2 — 10x + 5 \geq 0\):

Запишем неравенство:
\[
5x^2 — 10x + 5 \geq 0
\]

Шаг 1: Разделим обе части на 5:
\[
x^2 — 2x + 1 \geq 0
\]

Шаг 2: Представим выражение в виде полного квадрата:
\[
(x — 1)^2 \geq 0
\]

Это выражение всегда больше или равно нулю для всех значений \(x\), так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.

Ответ: Неравенство доказано.

в) Решим неравенство \(-x^2 + 20x — 100 \leq 0\):

Запишем неравенство:
\[
-x^2 + 20x — 100 \leq 0
\]

Шаг 1: Умножим обе части на \(-1\) (при этом знак неравенства изменится на противоположный):
\[
x^2 — 20x + 100 \geq 0
\]

Шаг 2: Представим выражение в виде полного квадрата:
\[
(x — 10)^2 \geq 0
\]
Это выражение всегда больше или равно нулю для всех значений \(x\).

Ответ: Неравенство доказано.

г) Решим неравенство \(-2x^2 + 16x — 33 < 0\):

Запишем неравенство:
\[
-2x^2 + 16x — 33 < 0
\]

Шаг 1: Умножим обе части на \(-1\) (при этом знак неравенства изменится на противоположный):
\[
2x^2 — 16x + 33 > 0
\]

Шаг 2: Представим выражение в виде полного квадрата:
\[
2(x^2 — 8x + 16) + 1 > 0
\]

Шаг 3: Упростим:
\[
2(x — 4)^2 + 1 > 0
\]

Так как \((x — 4)^2 \geq 0\), то \(2(x — 4)^2 \geq 0\), и сумма с 1 всегда больше нуля.

Ответ: Неравенство доказано.

д) Решим неравенство \(x^2 — 0.32x + 0.0256 \geq 0\):

Запишем неравенство:
\[
x^2 — 0.32x + 0.0256 \geq 0
\]

Шаг 1: Представим коэффициенты в виде дробей:
\[
x^2 — \left(\frac{32}{100}\right)x + \left(\frac{256}{10 000}\right) \geq 0
\]

Шаг 2: Представим выражение в виде полного квадрата:
\[
x^2 — \frac{8}{25}x + \frac{16}{625} \geq 0
\]

Шаг 3: Получаем:
\[
\left(x — \frac{4}{25}\right)^2 \geq 0
\]

Это выражение всегда больше или равно нулю для всех значений \(x\).

Ответ: Неравенство доказано.

е) Решим неравенство \(4x^2 + 0.8x + 2 > 0\):

Запишем неравенство:
\[
4x^2 + 0.8x + 2 > 0
\]

Шаг 1: Разделим обе части на 4, чтобы упростить:
\[
x^2 + 0.2x + 0.5 > 0
\]

Шаг 2: Представим выражение в виде полного квадрата:
\[
x^2 + 0.2x + 0.01 + 0.49 > 0
\]

Мы добавили и вычли \(0.01\), чтобы получить полный квадрат.

Шаг 3: Получаем:
\[
(x + 0.1)^2 + 0.49 > 0
\]

Поскольку \((x + 0.1)^2 \geq 0\) для всех \(x\), сумма всегда больше нуля.

Ответ: Неравенство доказано.

1) Для доказательства высказанных утверждений требуется выделить квадрат двучлена из данного трехчлена, что позволит доказать неравенство;