ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 57 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

a) \(x^2 + 1 = 0\);
\(x^2 = -1\), \(x \notin \mathbb{R}\);
Ответ: нет.

б) \(x^3 — 27 = 0\);
\(x^3 = 27\), \(x = 3\);
Ответ: да.

в) \(-2y^6 — 1 = 0\);
\(2y^6 = -1\), \(y \notin \mathbb{R}\);
Ответ: нет.

г) \(y^4 + 3y^2 + 7 = 0\);
\(D = 3^2 — 4 \cdot 7 = -19\);
\(D < 0\), значит \(y \notin \mathbb{R}\);
Ответ: нет.

а) Рассмотрим уравнение \(x^2 + 1 = 0\).

• Перепишем уравнение: \(x^2 + 1 = 0\).
• Вычтем 1 из обеих частей: \(x^2 = -1\).
• Подумаем, какие значения может принимать \(x^2\) при действительных \(x\). Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (\(x^2 \geq 0\)), то есть не может быть равен отрицательному числу.
• В нашем уравнении \(x^2 = -1\), то есть слева должно быть отрицательное число, чего не бывает для действительных \(x\).
• Следовательно, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет решений в действительных числах (\(x \notin \mathbb{R}\)).

б) Рассмотрим уравнение \(x^3 — 27 = 0\).

• Перепишем уравнение: \(x^3 — 27 = 0\).
• Добавим 27 к обеим частям: \(x^3 = 27\).
• Чтобы найти \(x\), извлечём кубический корень: \(x = \sqrt[3]{27}\).
• Поскольку \(27 = 3^3\), то \(x = 3\).
• Проверим: \(3^3 — 27 = 27 — 27 = 0\). Всё верно.

Ответ: да, есть решение \(x = 3\).

в) Рассмотрим уравнение \(-2y^6 — 1 = 0\).

• Перепишем уравнение: \(-2y^6 — 1 = 0\).
• Прибавим 1 к обеим частям: \(-2y^6 = 1\).
• Разделим обе части на -2: \(y^6 = -\frac{1}{2}\).
• Подумаем, чему может быть равно \(y^6\) при действительных \(y\). Любое число в чётной степени (например, шестой) всегда неотрицательно (\(y^6 \geq 0\)).
• Здесь правая часть — отрицательная (\(-\frac{1}{2}\)), значит уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет решений в действительных числах (\(y \notin \mathbb{R}\)).

г) Рассмотрим уравнение \(y^4 + 3y^2 + 7 = 0\).

• Введём замену: \(t = y^2\), тогда уравнение примет вид \(t^2 + 3t + 7 = 0\).
• Это квадратное уравнение относительно \(t\). Найдём его дискриминант: \(D = b^2 — 4ac = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 — 28 = -19\).
• Дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), значит, уравнение не имеет действительных корней.
• Поскольку \(t = y^2\), а \(y^2\) всегда неотрицательно, а здесь даже для квадратного уравнения нет подходящих корней, то и у исходного уравнения нет решений среди действительных чисел.

Ответ: нет решений в действительных числах (\(y \notin \mathbb{R}\)).