ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 250 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) \(2^{10}\) и \(31^{10}\);
Функция \(y = x^{10}\) возрастает на \(x \geq 0\):

\(0 < 2 < 31\), \(y(0) < y(2)\), \(2^{10} < 31^{10}\);

б) \(0,35\) и \(0,25\);
Функция \(y = x^5\) возрастает на \(x \in \mathbb{R}\):

\(0,3 > 0,2\), \(y(0,3) > y(0,2)\), \(0,35 > 0,25\);

в) \(\left(\frac{4}{5}\right)^{17}\) и \(\left(\frac{8}{9}\right)^{17}\);
Функция \(y = x^{17}\) возрастает на \(x \in \mathbb{R}\):

\(\frac{4}{5} < \frac{8}{9}\), \(y\left(\frac{4}{5}\right) < y\left(\frac{8}{9}\right)\), \(\left(\frac{4}{5}\right)^{17} <\left(\frac{8}{9}\right)^{17}\);

г) \(\left(\frac{4}{9}\right)^{10}\) и \(\left(\frac{2}{3}\right)^{20}\);
Значения одинаковы:

\[
\left(\frac{4}{9}\right)^{10} = \left(2^{-10}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^{20};
\]

д) \(3^{21}\) и \(8^7\);
Функция \(y = x^{21}\) возрастает на \(\mathbb{R}\):

\(3 > 2\), \(y(3) > y(2)\), \(3^{21} > 8^7 = 2^{21}\);

е) \(1250^3\) и \(36^6\);
Функция \(y = x^3\) возрастает на \(\mathbb{R}\):

\(1250 < 1296\), \(y(1250) < y(1296)\);

\(1250^3 < 36^6 = 1296^3\).

Решение задач с показателями степени

a) \( 2^{10} \) и \( 31^{10} \)

Функция \( y = x^{10} \) возрастает на \( x \geq 0 \), что означает, что для \( 0 < 2 < 31 \), выполняется неравенство:
\[
2^{10} < 31^{10}.
\]

Пояснение: так как функция \( y = x^{10} \) возрастает при \( x \geq 0 \), и \( 2 < 31 \), то возведенные в 10 степени числа также будут следовать этому порядку, то есть \( 2^{10} < 31^{10} \).

Ответ: \( 2^{10} < 31^{10} \)

b) \( 0,35 \) и \( 0,25 \)

Функция \( y = x^5 \) возрастает на \( x \in \mathbb{R} \), что означает, что для \( 0,25 < 0,35 \), выполняется неравенство: \[ 0,35^5 > 0,25^5.
\]

Пояснение: так как функция \( y = x^5 \) возрастает на всей области \( \mathbb{R} \), если \( 0,35 > 0,25 \), то возведенные в пятую степень числа также будут следовать этому порядку. Таким образом, \( 0,35^5 > 0,25^5 \).

Ответ: \( 0,35^5 > 0,25^5 \)

в) \( \left(\frac{4}{5}\right)^{17} \) и \( \left(\frac{8}{9}\right)^{17} \)

Функция \( y = x^{17} \) возрастает на \( x \in \mathbb{R} \), и так как \( \frac{4}{5} < \frac{8}{9} \), то выполняется неравенство:
\[
\left(\frac{4}{5}\right)^{17} < \left(\frac{8}{9}\right)^{17}.
\]

Пояснение: так как функция возрастает на всей области \( \mathbb{R} \), то если основание \( \frac{4}{5} < \frac{8}{9} \), то результат при одинаковых показателях степени будет также следовать этому порядку. Поэтому \( \left(\frac{4}{5}\right)^{17} < \left(\frac{8}{9}\right)^{17} \).

Ответ: \( \left(\frac{4}{5}\right)^{17} < \left(\frac{8}{9}\right)^{17} \)

г) \( \left(\frac{4}{9}\right)^{10} \) и \( \left(\frac{2}{3}\right)^{20} \)

Здесь мы видим, что \( \left(\frac{4}{9}\right)^{10} \) и \( \left(\frac{2}{3}\right)^{20} \) равны между собой. Давайте покажем это:
\[
\left(\frac{4}{9}\right)^{10} = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^{10} = \left(\frac{2}{3}\right)^{20}.
\]

Пояснение: \( \frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \), следовательно \( \left(\frac{4}{9}\right)^{10} = \left(\frac{2}{3}\right)^{20} \). Это равенство справедливо, потому что мы использовали свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

Ответ: \( \left(\frac{4}{9}\right)^{10} = \left(\frac{2}{3}\right)^{20} \)

д) \( 3^{21} \) и \( 8^7 \)

Функция \( y = x^{21} \) возрастает на \( \mathbb{R} \), и так как \( 3 > 2 \), выполняется неравенство:
\[
3^{21} > 8^7 = 2^{21}.
\]

Пояснение: \( 8 = 2^3 \), и следовательно \( 8^7 = (2^3)^7 = 2^{21} \). Так как \( 3 > 2 \), то \( 3^{21} > 2^{21} \), а значит, \( 3^{21} > 8^7 \).

Ответ: \( 3^{21} > 8^7 \)

е) \( 1250^3 \) и \( 36^6 \)

Функция \( y = x^3 \) возрастает на \( \mathbb{R} \), и \( 1250 < 1296 \), поэтому:
\[
1250^3 < 36^6 = 1296^3.
\]

Пояснение: \( 36 = 6^2 \), так что \( 36^6 = (6^2)^6 = 1296^3 \). Сравнивая \( 1250^3 \) и \( 1296^3 \), мы видим, что \( 1250 < 1296 \), следовательно \( 1250^3 < 1296^3 \).

Ответ: \( 1250^3 < 36^6 = 1296^3 \)