ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 249 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а)
\[5^{100} > 4^{100}, \, 5 > 4 > 0, \, 100 : 2;\]
Функция \(y = x^{100}\) возрастает на \(x \geq 0\);

б)
\[0,87^{100} < 0,89^{100}, \, 0 < 0,87 < 0,89;\]
Функция \(y = x^{100}\) возрастает на \(x \geq 0\);

в)
\[1,5^{261} < 1,6^{261}, \, 1,5 < 1,6, \, 261 + 2;\]
Функция \(y = x^{261}\) возрастает на \(\mathbb{R}\);

г)
\[\left(\frac{2}{3}\right)^{261} < \left(\frac{3}{5}\right)^{261}, \, \frac{2}{3} < \frac{3}{5}, \, 261 + 2;\]
Функция \(y = x^{261}\) возрастает на \(\mathbb{R}\).

Решение выражений с показателями степени

a) \( 5^{100} > 4^{100}, \, 5 > 4 > 0, \, 100 : 2 \)

Для начала заметим, что функция \( y = x^{100} \) — это функция с положительным показателем степени (100), и она возрастает на \( x \geq 0 \).

Пояснение: Для функции с четным показателем степени, если \( x_1 > x_2 \), то \( x_1^{100} > x_2^{100} \). Например, если \( 5 > 4 > 0 \), то мы можем уверенно сказать, что:
\[
5^{100} > 4^{100}.
\]

Пояснение: Поскольку \( x^{100} \) возрастает для всех \( x \geq 0 \), значения для \( 5^{100} \) всегда будут больше, чем для \( 4^{100} \), если основание 5 больше 4.

Ответ: \( 5^{100} > 4^{100} \)

b) \( 0,87^{100} < 0,89^{100}, \, 0 < 0,87 < 0,89 \)

Мы рассматриваем функцию \( y = x^{100} \), которая возрастает на \( x \geq 0 \). Это значит, что чем больше \(x\), тем больше значение функции.

Так как \( 0 < 0,87 < 0,89 \), и функция \( y = x^{100} \) возрастает для положительных \(x\), мы можем утверждать, что:
\[
0,87^{100} < 0,89^{100}.
\]

Примечание: Степень 100 не меняет порядок чисел, так как числа оба находятся в интервале \( (0, 1) \), и для таких чисел, чем больше основание, тем больше результат при одинаковом показателе.

Ответ: \( 0,87^{100} < 0,89^{100} \)

в) \( 1,5^{261} < 1,6^{261}, \, 1,5 < 1,6, \, 261 + 2 \)

Здесь функция \( y = x^{261} \) с нечетным показателем степени. Важно помнить, что для нечетных степеней функция возрастает на всей области \( \mathbb{R} \) (все числа, включая отрицательные, для которых функция определена).

Поскольку \( 1,5 < 1,6 \), мы можем утверждать, что для положительных чисел:
\[
1,5^{261} < 1,6^{261}.
\]

Пояснение: Показатель степени не влияет на порядок чисел, так как 261 — нечетное число. Если \( a < b \), то \( a^{261} < b^{261} \), при условии, что \( a \) и \( b \) положительные.

Ответ: \( 1,5^{261} < 1,6^{261} \)

г) \( \left(\frac{2}{3}\right)^{261} < \left(\frac{3}{5}\right)^{261}, \, \frac{2}{3} < \frac{3}{5}, \, 261 + 2 \)

Теперь рассматриваем функцию \( y = x^{261} \), где \(x\) — это дробное число. Для дробных чисел с показателем степени функция также возрастает на всей области \( \mathbb{R} \), так как показатель степени нечетный.

Если \( \frac{2}{3} < \frac{3}{5} \), то:
\[
\left(\frac{2}{3}\right)^{261} < \left(\frac{3}{5}\right)^{261}.
\]

Пояснение: В случае нечетных показателей степени для дробных чисел, чем больше основание, тем больше результат при одинаковом показателе. Это справедливо для всех дробных чисел, когда \( a < b \), тогда \( a^n < b^n \) для нечетного \(n\).

Ответ: \( \left(\frac{2}{3}\right)^{261} < \left(\frac{3}{5}\right)^{261} \)