ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 243 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

a) y = x² + 2x — 15;
x₀ = -2 / 2 = -1;
y₀ = 1 — 2 — 15 = -16;

Нули функции:
x² + 2x — 15 = 0;
D = 2² + 4 · 15 = 4 + 60 = 64, тогда:
x₁ = (-2 — 8) / 2 = -5 и x₂ = (-2 + 8) / 2 = 3;

График функции:

Свойства функции:
D(x) = (-∞; +∞);
y = 0 при x = -5 и x = 3;
y > 0 при x < -5 и x > 3;
y < 0 при -5 < x < 3;
Возрастает на [-1; +∞);
Убывает на (-∞; -1];
E(y) = [-16; +∞);

b) y = 0,5x² — 3x + 4;
x₀ = -3 / (2 · 0,5) = 3;
y₀ = 4,5 — 9 + 4 = -0,5;

Нули функции:
0,5x² — 3x + 4 = 0;
x² — 6x + 8 = 0;
D = 6² — 4 · 8 = 36 — 32 = 4, тогда:
x₁ = 2 и x₂ = 4;

Свойства функции:
D(x) = (-∞; +∞);
y = 0 при x = 2 и x = 4;
y > 0 при x < 2 и x > 4;
y < 0 при 2 < x < 4;

Возрастает на [3; +∞);
Убывает на (-∞; 3];
E(y) = [-0,5; +∞);

в) y = 4 — 0,5x²;
x₀ = 0, y₀ = 4;

Нули функции:
4 — 0,5x² = 0;
0,5 · x² = 4, x² = 8;
x₁ = -2√2, x₂ = 2√2;

График функции:

Свойства функции:
D(x) = (-∞; +∞);
y = 0 при x = -2√2 и x = 2√2;
y < 0 при x < -2√2 и x > 2√2;
y > 0 при -2√2 < x < 2√2;

Возрастает на (-∞; 0];
Убывает на [0; +∞);
E(y) = (-∞; 4);

г) y = 6x — 2x²;
x₀ = -6 / (2 · -2) = 3 / 2;
y₀ = 3 · 3 — 4,5 = 4,5;

Нули функции:
6x — 2x² = 0;
2x(x — 3) = 0;
x₁ = 0, x₂ = 3;

График функции:

D(x) = (-∞; +∞);
y = 0 при x = 0 и x = 3;
y < 0 при x < 0 и x > 3;
y > 0 при 0 < x < 3;

Возрастает на (-∞; 1,5];
Убывает на [1,5; +∞);
E(y) = (-∞; 4,5);

д) y = (2x — 7)(x + 1);
y = 2x² + 2x — 7x — 7;
y = 2x² — 5x — 7;

Координаты вершины:
x₀ = -(-5) / (2 · 2) = 1,25;
y₀ = 25 / 8 — 7 = -10 1/8;

Нули функции:
(2x — 7)(x + 1) = 0;
x₁ = -1, x₂ = 3,5;

D(x) = (-∞; +∞);
y = 0 при x = -1 и x = 3,5;
y > 0 при x < -1 и x > 3,5;
y < 0 при -1 < x < 3,5;

Возрастает на [1,25; +∞);
Убывает на (-∞; 1,25];
E(y) = [-10 1/8; +∞);

e) y = (2 — x)(x + 6);
y = 2x + 12 — x² — 6x;
y = 12 — 4x — x²;

Координаты вершины:
x₀ = -4 / -2 = -2;
y₀ = 12 + 8 — 4 = 16;

Нули функции:
(2 — x)(x + 6) = 0;
x₁ = -6, x₂ = 2;

Рассмотрим свойства функции a: \( y = x^2 + 2x — 15 \)

Вершина параболы: вычисляется по формуле \( x_0 = \frac{-b}{2a} \), в данном случае: \( x_0 = -1 \). Подставим в уравнение: \( y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) — 15 = 1 — 2 — 15 = -16 \). Значит, вершина: \( (-1; -16) \).

Нули функции: корни уравнения находятся по формуле корней квадратного уравнения. Дискриминант: \( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \). Тогда: \( x_1 = \frac{-2 — \sqrt{64}}{2} = -5 \), \( x_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = 3 \).

Область определения: так как функция квадратная, она определена при всех значениях \(x\): \( D(x) = (-\infty; +\infty) \).

Знак функции:

Функция равна нулю при \( x = -5 \) и \( x = 3 \); положительна при \( x < -5 \) и \( x > 3 \); отрицательна при \( -5 < x < 3 \).

Монотонность: убывает при \( x < -1 \), возрастает при \( x > -1 \); критическая точка — вершина \( x = -1 \).

Область значений: минимальное значение \( y = -16 \) достигается в вершине, функция возрастает бесконечно — значит: \( E(y) = [-16; +\infty) \).

Функция б: \( y = 0.5x^2 — 3x + 4 \)

Вершина: \( x_0 = \frac{-(-3)}{2 \cdot 0.5} = \frac{3}{1} = 3 \). Подставим: \( y_0 = 0.5 \cdot 9 — 9 + 4 = 4.5 — 9 + 4 = -0.5 \)

Нули функции: \( D = (-3)^2 — 4 \cdot 0.5 \cdot 4 = 9 — 8 = 1 \). Корни: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 4 \).

Область определения: вся числовая прямая: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \).

Знаки: \( y = 0 \) при \( x = 2 \) и \( x = 4 \); \( y > 0 \) при \( x < 2 \) и \( x > 4 \); \( y < 0 \) при \( 2 < x < 4 \).

Монотонность: убывает на \( (-\infty; 3] \), возрастает на \( [3; +\infty) \).

Область значений: минимум достигается в вершине: \( E(y) = [-0.5; +\infty) \).

Функция c: \( y = 4 — 0.5x^2 \)

Вершина: \( x_0 = 0 \), \( y_0 = 4 \) — это максимум, так как коэффициент при \( x^2 \) отрицателен.

Нули функции: \( 4 — 0.5x^2 = 0 \Rightarrow 0.5x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm 2\sqrt{2} \)

Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \)

Знаки: \( y = 0 \) при \( x = \pm 2\sqrt{2} \); \( y > 0 \) между ними; \( y < 0 \) вне этих точек.

Монотонность: убывает при \( x > 0 \), возрастает при \( x < 0 \)

Область значений: максимальное значение \( y = 4 \), \( E(y) = (-\infty; 4] \)

Функция в: \( y = (2x — 7)(x + 1) \)

Нули функции: \( x = -1 \), \( x = 3.5 \)

Вершина: находится по формуле \( x_0 = \frac{-b}{2a} \) для разложенной формы: сначала раскроем скобки: \( y = 2x^2 + 2x — 7x — 7 = 2x^2 — 5x — 7 \), тогда \( x_0 = \frac{5}{2 \cdot 2} = 1.25 \). Подставим: \( y_0 = (2 \cdot 1.25 — 7)(1.25 + 1) = (-4.5)(2.25) = -10.125 \)

Область определения: вся числовая прямая.

Знаки: \( y = 0 \) при \( x = -1 \), \( x = 3.5 \); \( y > 0 \) вне этих точек; \( y < 0 \) между ними.

Монотонность: убывает при \( x < 1.25 \), возрастает при \( x > 1.25 \)

Область значений: \( E(y) = [-10.125; +\infty) \)

Функция г: \( y = (2 — x)(x + 6) \)

Нули функции: \( x = -6 \), \( x = 2 \)

Вершина: раскрываем скобки: \( y = -x^2 — 6x + 2x + 12 = -x^2 — 4x + 12 \), \( x_0 = \frac{-(-4)}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = -2 \), \( y_0 = (2 — (-2))(-2 + 6) = 4 \cdot 4 = 16 \)

Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \)

Знаки: \( y = 0 \) при \( x = -6 \), \( x = 2 \); \( y > 0 \) между ними; \( y < 0 \) вне интервала.

Монотонность: возрастает на \( (-\infty; -2] \), убывает на \( [-2; +\infty) \)

Область значений: максимальное значение \( y = 16 \), \( E(y) = (-\infty; 16] \)

Функция д: \( y = (2x — 7)(x + 1) \)

Приведём выражение к стандартному виду квадратичной функции:

Раскроем скобки:

\( y = (2x — 7)(x + 1) = 2x^2 + 2x — 7x — 7 = 2x^2 — 5x — 7 \)

Вершина параболы:

Координата вершины находится по формуле \( x_0 = \frac{-b}{2a} \), где \( a = 2 \), \( b = -5 \):

\( x_0 = \frac{-(-5)}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} = 1.25 \)

Найдём значение функции в вершине:

\( y_0 = 2 \cdot (1.25)^2 — 5 \cdot 1.25 — 7 = 2 \cdot 1.5625 — 6.25 — 7 = 3.125 — 13.25 = -10.125 \)

Итак, вершина: \( (1.25; -10.125) \)

Нули функции:

Найдем корни произведения: \( y = (2x — 7)(x + 1) = 0 \)

Первый корень: \( 2x — 7 = 0 \Rightarrow x = 3.5 \)

Второй корень: \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)

Область определения: функция определена при всех значениях \(x\), так как это многочлен: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \)

Знак функции:

Функция равна нулю при \( x = -1 \) и \( x = 3.5 \)

Положительна при \( x < -1 \) и \( x > 3.5 \)

Отрицательна при \( -1 < x < 3.5 \)

Монотонность:

Парабола ветвями вверх, следовательно:

Убывает при \( x \leq 1.25 \)

Возрастает при \( x \geq 1.25 \)

Область значений:

Минимальное значение достигается в вершине: \( y = -10.125 \), значит:

\( E(y) = [-10.125; +\infty) \)

Функция e: \( y = (2 — x)(x + 6) \)

Преобразуем функцию в стандартный вид:

\( y = (2 — x)(x + 6) = 2x + 12 — x^2 — 6x = -x^2 — 4x + 12 \)

Вершина:

Координата вершины: \( x_0 = \frac{-(-4)}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = -2 \)

Найдём значение функции при \( x = -2 \):

\( y_0 = -( -2 )^2 — 4 \cdot (-2) + 12 = -4 + 8 + 12 = 16 \)

Вершина: \( (-2; 16) \)

Нули функции:

Нули исходного выражения: \( (2 — x)(x + 6) = 0 \)

Первый корень: \( 2 — x = 0 \Rightarrow x = 2 \)

Второй корень: \( x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6 \)

Область определения:

Функция определена при всех значениях \(x\), так как это многочлен: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \)

Знак функции:

Функция равна нулю при \( x = -6 \) и \( x = 2 \)

Положительна при \( -6 < x < 2 \)

Отрицательна при \( x < -6 \) и \( x > 2 \)

Монотонность:

Ветви параболы направлены вниз (коэффициент при \(x^2\) отрицательный)

Убывает при \( x \leq -2 \)

Возрастает при \( x \geq -2 \)

Область значений:

Максимум достигается в вершине: \( y = 16 \), значит:

\( E(y) = (-\infty; 16] \)