ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 207 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что у = f(x) и у = g(x) — возрастающие (убывающие) функции. Докажите, что функция фи (х) = f(x) + g(x) является возрастающей (убывающей) функцией.

Функции монотонны:
y = f(x), y = g(x);

1) Обе возрастающие:
f(x2) > f(x1), g(x2) > g(x1);
f(x2) + g(x2) > f(x1) + g(x1);
φ(x2) > φ(x1);

2) Обе убывающие:
f(x2) < f(x1), g(x2) < g(x1);
f(x2) + g(x2) < f(x1) + g(x1);
φ(x2) < φ(x1);

Что и требовалось доказать.

1. Обе функции возрастающие

Доказательство:

Пусть f(x) и g(x) — возрастающие функции.

Тогда для любых x_1 и x_2, где x_2 > x_1, выполняется:

f(x_2) > f(x_1)

g(x_2) > g(x_1)

Сложим неравенства: f(x_2) + g(x_2) > f(x_1) + g(x_1).

Следовательно, функция φ(x) = f(x) + g(x) также возрастает.

Что и требовалось доказать.

2. Обе функции убывающие

Доказательство:

Пусть f(x) и g(x) — убывающие функции.

Тогда для любых x_1 и x_2, где x_2 > x_1, выполняется:

f(x_2) < f(x_1)

g(x_2) < g(x_1)

Сложим неравенства: f(x_2) + g(x_2) < f(x_1) + g(x_1).

Следовательно, функция φ(x) = f(x) + g(x) также убывает.

Что и требовалось доказать.