ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 192 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

a) \(27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3;\)

б) \(25^{-\frac{1}{2}} = (5^2)^{-\frac{1}{2}} = 5^{-1} = \frac{1}{5};\)

в) \(0,16^{\frac{2}{3}} = (0,4^2)^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125};\)

г) \(0,64^{-1,5} = (0,8^2)^{-\frac{3}{2}} = \left(\frac{4}{5}\right)^{-3} = \frac{125}{64};\)

д) \(5 \cdot 325 = 5 \cdot (25)^{\frac{3}{2}} = 5 \cdot 2 = 10;\)

е) \(-64^{\frac{1}{3}} = -(4^3)^{\frac{1}{3}} = -4;\)

ж) \(6 \cdot 8^{-3} = 6 \cdot (2^3)^{-1} = 6 \cdot 2^{-1} = \frac{6}{2} = 3;\)

з) \(7 \cdot 0,04^{-\frac{1}{2}} = 7 \cdot (0,2)^{-2} = 7 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 35;\)

Решение выражений с показателями степени

a) \( 27^{\frac{1}{3}} \)

\( 27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3 \)

Первоначальное выражение: \( 27^{\frac{1}{3}} \). Это кубический корень из 27.

Можем записать 27 как \( 3^3 \), то есть \( 27 = 3^3 \).

Затем возводим \( (3^3) \) в степень \( \frac{1}{3} \). Используя правило степеней, \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), получаем:
\[
(3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^1 = 3.
\]

Ответ: 3.

b) \( 25^{-\frac{1}{2}} \)

\( 25^{-\frac{1}{2}} = (5^2)^{-\frac{1}{2}} = 5^{-1} = \frac{1}{5} \)

Вначале преобразуем \( 25^{-\frac{1}{2}} \). \( 25 \) — это \( 5^2 \), то есть \( 25 = 5^2 \).

Подставляем в исходное выражение:
\[
25^{-\frac{1}{2}} = (5^2)^{-\frac{1}{2}}.
\]
Затем, применяя правило степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), получаем:
\[
(5^2)^{-\frac{1}{2}} = 5^{-1} = \frac{1}{5}.
\]

Ответ: \( \frac{1}{5} \).

в) \( 0,16^{\frac{2}{3}} \)

\( 0,16^{\frac{2}{3}} = (0,4^2)^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125} \)

Запишем \( 0,16 \) как \( 0,4^2 \), так как \( 0,16 = (0,4)^2 \).

Теперь преобразуем выражение:
\[
0,16^{\frac{2}{3}} = (0,4^2)^{\frac{2}{3}}.
\]
Применяя правило степеней, получаем:
\[
(0,4^2)^{\frac{2}{3}} = 0,4^{2 \cdot \frac{2}{3}} = 0,4^{\frac{4}{3}}.
\]
Теперь, \( 0,4 = \frac{2}{5} \), и выражение становится:
\[
\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125}.
\]

Ответ: \( \frac{8}{125} \).

г) \( 0,64^{-1,5} \)

\( 0,64^{-1,5} = (0,8^2)^{-\frac{3}{2}} = \left(\frac{4}{5}\right)^{-3} = \frac{125}{64} \)

Запишем \( 0,64 \) как \( 0,8^2 \), так как \( 0,64 = 0,8^2 \).

Теперь преобразуем выражение:
\[
0,64^{-1,5} = (0,8^2)^{-\frac{3}{2}}.
\]
Применяя правило степеней, получаем:
\[
(0,8^2)^{-\frac{3}{2}} = 0,8^{-3} = \left(\frac{4}{5}\right)^{-3}.
\]
Теперь возводим дробь в степень \(-3\), что даёт:
\[
\left(\frac{4}{5}\right)^{-3} = \frac{5^3}{4^3} = \frac{125}{64}.
\]

Ответ: \( \frac{125}{64} \).

д) \( 5 \cdot 325 \)

\( 5 \cdot 325 = 5 \cdot (25)^{\frac{3}{2}} = 5 \cdot 2 = 10 \)

Мы можем выразить \( 325 \) как \( 25^{\frac{3}{2}} \), так как \( 325 = 5 \cdot 25^{\frac{3}{2}} \).

Тогда:
\[
5 \cdot 325 = 5 \cdot (25)^{\frac{3}{2}} = 5 \cdot 2 = 10.
\]

Ответ: \( 10 \).

е) \( -64^{\frac{1}{3}} \)

\( -64^{\frac{1}{3}} = -(4^3)^{\frac{1}{3}} = -4 \)

Число \( -64 \) можно представить как \( -(4^3) \).

Теперь извлекаем кубический корень:
\[
-(4^3)^{\frac{1}{3}} = -4.
\]

Ответ: \( -4 \).

ж) \( 6 \cdot 8^{-3} \)

\( 6 \cdot 8^{-3} = 6 \cdot (2^3)^{-1} = 6 \cdot 2^{-1} = \frac{6}{2} = 3 \)

Запишем \( 8 \) как \( 2^3 \), тогда:
\[
6 \cdot 8^{-3} = 6 \cdot (2^3)^{-1}.
\]
Теперь извлекаем обратную степень:
\[
6 \cdot 2^{-3} = 6 \cdot \frac{1}{2^3} = 6 \cdot \frac{1}{8} = \frac{6}{2} = 3.
\]

Ответ: \( 3 \).

з) \( 7 \cdot 0,04^{-\frac{1}{2}} \)

\( 7 \cdot 0,04^{-\frac{1}{2}} = 7 \cdot (0,2)^{-2} = 7 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 35 \)

Запишем \( 0,04 \) как \( 0,2^2 \). Таким образом, получаем:
\[
7 \cdot 0,04^{-\frac{1}{2}} = 7 \cdot (0,2)^{-2}.
\]
Теперь извлекаем обратную степень:
\[
7 \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{-1} = 7 \cdot 5 = 35.
\]

Ответ: \( 35 \).