ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 191 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Корень в виде степени:
а) \(\sqrt[2]{1,3} = 1,3^{\frac{1}{2}} = 1,3^{0,5}\);
б) \(\sqrt[3]{7^{-1}} = 7^{-\frac{1}{3}}\);
в) \(\sqrt[4]{\frac{2}{3}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{4}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{0,25}\);
г) \(\sqrt[5]{\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-\frac{2}{5}}\);
д) \(\sqrt[7]{a^4} = a^{\frac{4}{7}}\);
е) \(\sqrt[4]{x^{-3}} = x^{-\frac{3}{4}}\);
ж) \(\sqrt[3]{a^2 — b^2} = (a^2 — b^2)^{\frac{1}{3}}\);
з) \(\sqrt[5]{(x — y)^2} = (x — y)^{\frac{2}{5}}\).
Пример (a)
Дано: \( \sqrt{1.3} = \sqrt[2]{1.3^1} = 1.3^{\frac{1}{2}} \).
В данном примере нам нужно вычислить значение квадратного корня из числа 1.3. Мы начинаем с того, что представляем это выражение в виде степени: \( \sqrt{1.3} = 1.3^{\frac{1}{2}} \). Это соответствует стандартному правилу, что квадратный корень можно выразить через степень с показателем \( \frac{1}{2} \).
Теперь, для нахождения численного значения, мы вычисляем приближённое значение степени \( 1.3^{\frac{1}{2}} \). Это примерно равно \( 1.32 \), что мы можем подтвердить с помощью калькулятора или математического подхода.
Ответ: \( 1.32 \).
Пример (б)
Дано: \( \sqrt[3]{7 — 1} = 7^{-\frac{1}{3}} \).
В данном примере мы имеем выражение под кубическим корнем: \( \sqrt[3]{7 — 1} \). Сначала вычислим \( 7 — 1 = 6 \), то есть нам нужно вычислить кубический корень из 6. Однако для удобства мы используем свойство корней и представляем это как степень с отрицательным показателем: \( \sqrt[3]{6} = 6^{\frac{1}{3}} \), что эквивалентно \( 6^{-\frac{1}{3}} \).
В данном случае мы оставляем ответ в виде степени с показателем \( -\frac{1}{3} \), так как числовое значение мы не вычисляем. Это выражение указывает на то, что мы ищем кубический корень числа 6 с обратным знаком.
Ответ: \( 7^{-\frac{1}{3}} \).
Пример (в)
Дано: \( \sqrt[4]{\frac{2}{3}} = \left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{4}} \).
Здесь мы имеем четвёртый корень из дроби \( \frac{2}{3} \). Мы можем представить это в виде степени: \( \sqrt[4]{\frac{2}{3}} = \left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{4}} \). Это свойство извлечения корня и его преобразования в степень позволяет нам выразить это как дробную степень, где показатель равен \( \frac{1}{4} \), так как речь идет о четвёртом корне.
Ответ: \( \left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{4}} \).
Пример (г)
Дано: \( \sqrt[5]{\left( \frac{3}{2} \right)^{-2}} \).
В этом примере мы имеем выражение с пятой степенью. Сначала разберёмся с внутренним выражением \( \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} \). Это выражение представляет собой дробь с отрицательной степенью, что означает, что мы инвертируем дробь и возводим её в положительную степень: \( \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \). Теперь мы вычисляем пятый корень этого выражения, что даёт: \( \sqrt[5]{\left( \frac{2}{3} \right)^{2}} = \left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{2}{5}} \).
Ответ: \( \left( \frac{3}{2} \right)^{-\frac{2}{5}} \).
Пример (д)
Дано: \( \sqrt[7]{a^4} \).
Здесь мы имеем седьмой корень из выражения \( a^4 \). Мы можем выразить это через степень, как \( \left( a^4 \right)^{\frac{1}{7}} \), что даёт: \( a^{\frac{4}{7}} \). Это свойство извлечения корня из степени позволяет нам преобразовать выражение в дробную степень с показателем \( \frac{4}{7} \), что и является окончательным результатом.
Ответ: \( a^{\frac{4}{7}} \).
Пример (е)
Дано: \( \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}} \).
Здесь нам нужно преобразовать выражение, содержащее четвертый корень из \( x^3 \). Сначала извлечём корень из выражения: \( \sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}} \). Тогда выражение \( \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}} \) становится \( \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \), что эквивалентно \( x^{-\frac{3}{4}} \), поскольку дробь с отрицательным показателем степени переводится в отрицательную степень.
Ответ: \( x^{-\frac{3}{4}} \).
Пример (ж)
Дано: \( \sqrt[3]{a^2 — b^2} \).
В данном примере мы извлекаем кубический корень из разности двух квадратов: \( a^2 — b^2 \). Это выражение можно записать как степень с показателем \( \frac{1}{3} \): \( \sqrt[3]{a^2 — b^2} = (a^2 — b^2)^{\frac{1}{3}} \). Это просто преобразование корня в степень с соответствующим показателем, и мы оставляем выражение в таком виде.
Ответ: \( (a^2 — b^2)^{\frac{1}{3}} \).
Пример (з)
Дано: \( \sqrt[5]{(x — y)^2} \).
Здесь мы извлекаем пятый корень из выражения \( (x — y)^2 \). Мы преобразуем это в степень с показателем \( \frac{2}{5} \), так как пятый корень из квадрата равен степени \( \frac{2}{5} \). Это можно записать как: \( \sqrt[5]{(x — y)^2} = (x — y)^{\frac{2}{5}} \).
Ответ: \( (x — y)^{\frac{2}{5}} \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.